Tekrarlı Permütasyon Hesaplama (nΠr)

Hesaplamaya Girin

Farklı öğe sayısı (n)

Seçilip sıralanan öğe sayısı (r)

Sonuç

Tekrarlı Permütasyon (nΠr)

125

sıralı diziliş

Formül	nΠr = n^r
n (farklı öğe)	5
r (doldurulan pozisyon)	3
Yaklaşık değer	125

Tekrarlı permütasyon nedir?

Tekrarlı permütasyon, sıralı r pozisyonu n farklı öğeden seçim yaparak kaç farklı şekilde doldurabileceğinizi sayar; burada her öğe birden fazla kez kullanılabilir. Gösterimi \({}^{n}\Pi_{r}\) şeklindedir. Sıra önemli olduğundan ve tekrara izin verildiğinden, her pozisyon n öğenin tamamı arasından yapılan bağımsız bir seçimdir. Bu tamamen matematiksel bir kavramdır ve her yerde aynı şekilde geçerlidir.

r konumun her biri n öğeden bağımsız olarak doldurulur, bu yüzden öğeler tekrarlanabilir.

Formül

Toplam diziliş sayısı, n'nin r'inci kuvvetinden ibarettir:

$$ {}^{n}\Pi_{r} = \text{n}^{\,\text{r}} $$

Bu sonuç çarpma ilkesinden gelir: ilk pozisyon için n seçenek vardır, ikinci pozisyon için de (tekrara izin verildiğinden) yine n seçenek bulunur ve bu durum r pozisyonun tamamı için sürer; böylece \(n \times n \times \ldots \times n = n^{r}\) elde edilir.

Reklam

r konumun her biri için n seçenek olduğundan, toplam n'nin kendisiyle r kez çarpımıdır: \(n^{r}\).

Hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Kullanılabilir farklı öğe sayısını gösteren n değerini ve doldurulacak pozisyon sayısını (her sıralı dizinin uzunluğunu) gösteren r değerini girin. Her ikisi de negatif olmayan tam sayı olmalıdır. Tekrara izin verildiği için r, n'den büyük olabilir. Hesaplayıcı, sınırsız hassasiyetli aritmetik kullanarak kesin tam sayı sonucunu verir; böylece çok büyük sonuçlar bile tam olarak gösterilir.

Çözümlü örnek

n = 5 farklı öğe ve r = 3 pozisyon için: $$ {}^{n}\Pi_{r} = 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125 $$ Yani 5 öğeden, tekrara izin verilerek oluşturulan 3 uzunluğundaki sıralı dizilerin sayısı 125'tir. Bir başka örnek: n = 2, r = 10 için \(2^{10} = 1024\) elde edilir; bu da 10 uzunluğundaki ikili (binary) dizilerin sayısıdır.

Sıkça Sorulan Sorular

Bunun nPr'den farkı nedir? Tekrarsız (sıradan) permütasyonlar \(nPr = \frac{n!}{(n-r)!}\) formülünü kullanır ve burada her öğe en fazla bir kez kullanılır. Bu araç ise tekrara izin verdiği için \(n^{r}\) formülünü kullanır.

r = 0 olursa ne olur? \({}^{n}\Pi_{0} = n^{0} = 1\) olur; bu, tek bir boş dizilişi ifade eder. Standart kombinatorik kuralı gereği burada \(0^{0} = 1\) olarak kabul edilir.

n = 0 ve r ≥ 1 olursa ne olur? Sonuç 0'dır; çünkü boş bir öğe kümesinden hiçbir pozisyon doldurulamaz.