Калькулятор размещений с повторениями (nΠr)

Введите расчет

Количество различных элементов (n)

Количество выбираемых и упорядочиваемых элементов (r)

Результатов

Размещения с повторениями (nΠr)

125

упорядоченных вариантов

Формула	nΠr = n^r
n (различных элементов)	5
r (заполняемых позиций)	3
Приблизительное значение	125

Что такое размещение с повторениями?

Размещение с повторениями показывает, сколькими способами можно заполнить r упорядоченных позиций, выбирая элементы из n различных, причём один и тот же элемент допустимо брать несколько раз. Обозначается это как \({}^{n}\Pi_{r}\). Поскольку порядок важен, а повторы разрешены, каждая позиция — это независимый выбор из всех n элементов. Это чистая комбинаторика, и она работает одинаково в любой стране.

Каждая из r позиций заполняется независимо из n элементов, поэтому элементы могут повторяться.

Формула

Общее число вариантов — это просто n в степени r:

$$ {}^{n}\Pi_{r} = \text{n}^{\,\text{r}} $$

Формула следует из правила умножения: на первую позицию есть n вариантов, на вторую — тоже n (повторы разрешены) и так далее для всех r позиций. В итоге получаем \(n \times n \times \ldots \times n = n^{r}\).

Реклама

При n вариантах для каждой из r позиций итог равен n, умноженному само на себя r раз: \(n^r\).

Как пользоваться калькулятором

Введите n — количество доступных различных элементов, и r — число заполняемых позиций (длину каждой упорядоченной последовательности). Оба значения должны быть целыми неотрицательными числами. Так как повторы допускаются, r может быть и больше n. Калькулятор выдаёт точное целочисленное значение с использованием арифметики произвольной точности, поэтому даже очень большие результаты отображаются без округления.

Разбор примера

Пусть n = 5 различных элементов и r = 3 позиции: $$ {}^{n}\Pi_{r} = 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125. $$ То есть существует 125 упорядоченных последовательностей длины 3, составленных из 5 элементов с возможностью повторов. Ещё пример: при n = 2 и r = 10 получаем \(2^{10} = 1024\) — это число двоичных строк длины 10.

Частые вопросы

Чем это отличается от nPr? Обычные размещения без повторений считаются по формуле \({}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}\), где каждый элемент используется не более одного раза. Здесь же повторы разрешены, поэтому применяется \(n^{r}\).

А если r = 0? \({}^{n}\Pi_{0} = n^{0} = 1\) — это единственная пустая последовательность. По стандартному комбинаторному соглашению даже \(0^{0}\) здесь равно 1.

А если n = 0, но r ≥ 1? Результат равен 0, ведь из пустого множества элементов ни одну позицию заполнить нельзя.