Что считает этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет сразу и перестановки (nPr), и сочетания (nCr) для множества из n элементов, из которых вы выбираете r. Перестановки показывают число упорядоченных выборок (когда важен порядок), а сочетания — число неупорядоченных выборок (когда порядок не важен). Дополнительно калькулятор выводит факториал числа n для справки.
Как пользоваться
Укажите общее количество элементов n и количество выбираемых r, где должно выполняться условие \(0 \le r \le n\). Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть значения nPr и nCr. Если r больше n, результат будет равен 0 — нельзя выбрать больше элементов, чем их есть на самом деле.
Разбор формул
Факториал \(n!\) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n (например, \(5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120\)). Перестановки считаются по формуле $$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$ — здесь важен порядок, поэтому перестановка двух выбранных элементов даёт уже другую выборку. Сочетания вычисляются как $$C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$ — деление на \(r!\) убирает повторяющиеся варианты порядка, ведь в сочетаниях он роли не играет.
Пример расчёта
Пусть \(n = 5\) и \(r = 2\). Тогда $$P(5,2) = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$$ упорядоченных пар. А $$C(5,2) = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$$ неупорядоченных пар. Обратите внимание: nPr всегда больше или равно nCr, потому что каждое сочетание можно упорядочить \(r!\) способами.
Частые вопросы
Когда применять перестановки, а когда сочетания? Перестановки нужны, если важен порядок (например, распределение мест, пароли, финиш гонки), а сочетания — если порядок не имеет значения (например, числа в лотерее, состав комитета, набор карт на руках).
Что будет, если \(r = 0\)? И nPr, и nCr равны 1 — существует ровно один способ не выбрать ничего.
Какое максимальное значение n допустимо? Факториалы растут крайне быстро, поэтому калькулятор поддерживает n до 170 — дальше значения выходят за пределы диапазона чисел с плавающей точкой.
