Калькулятор размещений с повторениями

Введите расчет

Число типов элементов (n):

Число заполняемых позиций (r):

Результатов

Число размещений с повторениями

125

Число типов элементов (n)	5
Число заполняемых позиций (r)	3

Что делает этот калькулятор

Калькулятор размещений с повторениями считает, сколько упорядоченных комбинаций можно составить, если повторы разрешены. Вы выбираете из n типов элементов и заполняете r позиций, и поскольку каждый тип можно использовать сколько угодно раз, на каждой позиции доступно одинаковое число вариантов. Результат — это просто n в степени r. Это классическое правило подсчёта для таких задач, как PIN-коды, пароли, броски кубика и автомобильные номера, где одно и то же значение может встречаться несколько раз.

Каждую позицию можно заполнить любым из n типов элементов, а выборы свободно повторяются.

Какие данные нужно ввести

• Число типов элементов (n): сколько различных вариантов доступно для каждой позиции — например, 10 цифр (0–9) или 26 букв.
• Число заполняемых позиций (r): сколько ячеек нужно заполнить, например 4 цифры в PIN-коде.

Оба значения считываются как целые числа. После этого калькулятор выдаёт общее число возможных упорядоченных последовательностей.

Формула

Расчёт использует правило размещений с повторениями:

$$P(n, r) = \text{n}^{\text{r}}$$

Логика проста: на первой позиции может стоять любой из \(n\) элементов, на второй — тоже любой из \(n\) (повторы разрешены), и так далее для всех \(r\) позиций. Перемножив \(n\) само на себя \(r\) раз, получаем \(n^r\). Порядок здесь важен, поэтому «AB» и «BA» считаются разными размещениями.

Реклама

Имеется r позиций, и каждая независимо имеет n вариантов, что даёт n в степени r.

Разбор примера

Допустим, нужно посчитать все возможные 4-значные PIN-коды. Цифр всего 10 (от 0 до 9), значит \(n = 10\), а позиций мы заполняем 4, поэтому \(r = 4\).

• $$P(10, 4) = 10^4$$
• $$= 10 \times 10 \times 10 \times 10$$
• = 10 000 возможных PIN-кодов (от 0000 до 9999).

Введите \(n = 10\) и \(r = 4\) — калькулятор вернёт 10 000.

Часто задаваемые вопросы

Чем это отличается от обычных размещений? Обычные размещения без повторений считаются по формуле \(n!/(n-r)!\), поскольку элементы повторяться не могут. При размещениях с повторениями на каждой позиции по-прежнему \(n\) вариантов, что даёт \(n^r\) — и итоговое число получается больше.

Важен ли порядок в этом расчёте? Да. Каждое размещение рассматривается как упорядоченная последовательность, поэтому разные порядки одних и тех же элементов считаются отдельно. Если бы порядок не имел значения, использовалась бы формула сочетаний с повторениями.

Может ли r быть больше n? Конечно. Поскольку элементы используются повторно, \(r\) спокойно может превышать \(n\) — например, 6-символьный код из 4 символов даёт \(4^6 = 4096\) вариантов.