पुनरावृत्ति सहित क्रमचय कैलकुलेटर

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वस्तुओं के प्रकारों की संख्या (n):

भरने वाली जगहों की संख्या (r):

परिणाम

पुनरावृत्ति सहित क्रमचयों की संख्या

125

वस्तुओं के प्रकारों की संख्या (n)	5
भरने वाली जगहों की संख्या (r)	3

यह कैलकुलेटर क्या करता है

पुनरावृत्ति सहित क्रमचय कैलकुलेटर यह गिनता है कि जब किसी वस्तु को दोबारा इस्तेमाल किया जा सकता है, तो आप कितने क्रमबद्ध विन्यास (arrangements) बना सकते हैं। आप n प्रकार की वस्तुओं में से चुनते हैं और r जगहें भरते हैं, और चूँकि हर प्रकार की वस्तु को बार-बार इस्तेमाल किया जा सकता है, इसलिए हर जगह के लिए विकल्पों की संख्या एक समान रहती है। इसका परिणाम बस n की r घात होता है। यह उन स्थितियों के लिए गिनती का क्लासिक नियम है जैसे PIN कोड, पासवर्ड, पासे (dice) के थ्रो और नंबर प्लेट, जहाँ एक ही मान एक से ज़्यादा बार आ सकता है।

हर स्थान को n प्रकार के तत्वों में से किसी से भी भरा जा सकता है, और विकल्प स्वतंत्र रूप से दोहराए जाते हैं।

आपको कौन-सी जानकारी देनी है

• वस्तुओं के प्रकारों की संख्या (n): हर जगह के लिए कितने अलग-अलग विकल्प उपलब्ध हैं — उदाहरण के लिए, 10 अंक (0–9) या 26 अक्षर।
• भरने वाली जगहों की संख्या (r): आपको कितने खाने भरने हैं, जैसे किसी PIN में 4 अंक।

दोनों मान पूर्ण संख्या (whole numbers) के रूप में लिए जाते हैं। इसके बाद कैलकुलेटर संभावित क्रमबद्ध अनुक्रमों की कुल गिनती बता देता है।

सूत्र

यह गणना पुनरावृत्ति सहित क्रमचय के नियम पर आधारित है:

$$P(n, r) = n^{r}$$

तर्क बिल्कुल सीधा है: पहली जगह पर n में से कोई भी वस्तु आ सकती है, दूसरी जगह पर भी n में से कोई भी वस्तु आ सकती है (क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है), और इसी तरह सभी r जगहों के लिए। n को खुद से r बार गुणा करने पर \(n^{r}\) मिलता है। यहाँ क्रम (order) मायने रखता है, इसलिए "AB" और "BA" को अलग-अलग विन्यास गिना जाता है।

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r स्थान हैं, और हर स्थान के पास स्वतंत्र रूप से n विकल्प होते हैं, जिससे n की घात r मिलती है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए आप हर संभव 4-अंकों वाले PIN की गिनती करना चाहते हैं। यहाँ 10 प्रकार के अंक हैं (0 से 9 तक), इसलिए n = 10, और आपको 4 जगहें भरनी हैं, इसलिए r = 4।

• \(P(10, 4) = 10^{4}\)
• \(= 10 \times 10 \times 10 \times 10\)
• = 10,000 संभावित PIN (0000 से लेकर 9999 तक)।

n = 10 और r = 4 डालिए, और कैलकुलेटर 10,000 का परिणाम देगा।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

यह सामान्य क्रमचय से कैसे अलग है? बिना पुनरावृत्ति वाले सामान्य क्रमचय में \(n!/(n-r)!\) का इस्तेमाल होता है, क्योंकि वहाँ वस्तुएँ दोहराई नहीं जा सकतीं। पुनरावृत्ति के साथ हर जगह पर फिर भी n विकल्प होते हैं, जिससे \(n^{r}\) मिलता है और गिनती ज़्यादा बड़ी आती है।

क्या इस गणना में क्रम मायने रखता है? हाँ। हर विन्यास को एक क्रमबद्ध अनुक्रम माना जाता है, इसलिए एक ही वस्तुओं के अलग-अलग क्रम को अलग-अलग गिना जाता है। अगर क्रम मायने न रखता, तो आप पुनरावृत्ति सहित संचय (combinations with replacement) का सूत्र इस्तेमाल करते।

क्या r, n से बड़ा हो सकता है? बिल्कुल। चूँकि वस्तुएँ दोबारा इस्तेमाल होती हैं, इसलिए r का n से बड़ा होना कोई समस्या नहीं — उदाहरण के लिए, 4 चिह्नों से बना 6-अक्षरों का कोड \(4^{6} = 4{,}096\) परिणाम देता है।