ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك حاسبة التباديل مع التكرار معرفة عدد الترتيبات المختلفة التي يمكنك تكوينها عندما يُسمح بتكرار العناصر. أنت تختار من بين n من أنواع العناصر لملء r من المواضع، وبما أنه يمكن إعادة استخدام كل نوع من العناصر أكثر من مرة، فإن أمام كل موضع العدد نفسه من الخيارات. وبذلك تكون النتيجة ببساطة هي n مرفوعة إلى القوة r. هذا هو قانون العدّ الكلاسيكي المستخدم في حالات مثل أرقام التعريف الشخصي (PIN) وكلمات المرور ورمي النرد ولوحات السيارات، حيث يمكن أن تظهر القيمة نفسها أكثر من مرة.
المدخلات التي تُدخلها
- عدد أنواع العناصر (n): كم خيارًا مختلفًا متاحًا لكل موضع — على سبيل المثال، 10 أرقام (من 0 إلى 9) أو 26 حرفًا.
- عدد المواضع المطلوب ملؤها (r): كم خانة تحتاج إلى ملئها، مثل 4 أرقام في رمز PIN.
تُقرأ كلتا القيمتين كأعداد صحيحة، ثم تعرض الحاسبة العدد الإجمالي للتسلسلات المرتبة الممكنة.
القانون الرياضي
تعتمد العملية الحسابية على قاعدة التباديل مع التكرار:
$$P(n, r) = n^{r}$$المنطق بسيط وواضح: يمكن أن يكون الموضع الأول أيًّا من العناصر الـ n، ويمكن أن يكون الموضع الثاني أيضًا أيًّا من العناصر الـ n (لأن التكرار مسموح به)، وهكذا حتى المواضع الـ r كلها. وبضرب n في نفسه r من المرات نحصل على \(n^{r}\). الترتيب مهم هنا، لذا يُعدّ "AB" و"BA" ترتيبين مختلفين.
مثال تطبيقي
لنفترض أنك تريد حساب كل أرقام PIN الممكنة المكوّنة من 4 خانات. لدينا 10 أنواع من الأرقام (من 0 إلى 9)، إذن n = 10، وتملأ 4 مواضع، إذن r = 4.
- $$P(10, 4) = 10^{4}$$
- $$= 10 \times 10 \times 10 \times 10$$
- = 10,000 رمز PIN ممكن (من 0000 إلى 9999).
أدخل n = 10 و r = 4، فتعرض لك الحاسبة النتيجة 10,000.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين هذا والتباديل العادية؟ تستخدم التباديل العادية بدون تكرار القانون \(n!/(n-r)\)؛ لأن العناصر لا يمكن أن تتكرر. أما مع التكرار، فيبقى أمام كل موضع n من الخيارات، ما يعطي \(n^{r}\)، وينتج عنه عدد أكبر من الترتيبات.
هل الترتيب مهم في هذه العملية الحسابية؟ نعم. يُعامل كل ترتيب على أنه تسلسل مرتب، لذا تُحسب الترتيبات المختلفة لنفس العناصر بشكل منفصل. أما إذا لم يكن الترتيب مهمًا، فستستخدم قانون التوافيق مع التكرار بدلًا من ذلك.
هل يمكن أن يكون r أكبر من n؟ بالتأكيد. بما أن العناصر يُعاد استخدامها، فلا مشكلة في أن يتجاوز r قيمة n — فمثلًا، رمز من 6 خانات مكوّن من 4 رموز يعطي \(4^{6} = 4{,}096\) نتيجة.
