ما هو التبديل مع التكرار؟
التبديل مع التكرار (ويُسمّى أيضاً التبديل مع الإرجاع) هو عدد الترتيبات المرتّبة التي يمكن تكوينها عندما يُعاد كل عنصر مختار إلى المجموعة قبل الاختيار التالي. وبما أنّ العناصر يمكن أن تتكرّر وأنّ الترتيب مهمّ، فإنّ كل موضع من المواضع الـr تتوفّر له جميع الخيارات الـn كاملة. ولذلك يكون العدد الإجمالي للترتيبات $$P = n^r$$.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمتين: n وهي عدد العناصر المختلفة المتاحة، وr وهي عدد المواضع أو الاختيارات التي تريد ملأها. ترفع الحاسبة على الفور القيمة \(n\) إلى الأُسّ \(r\) وتعرض العدد الإجمالي للتسلسلات المرتّبة الممكنة.
شرح القانون
تنبع هذه القاعدة من مبدأ الضرب. ففي الموضع الأول لديك \(n\) خياراً، ولأنّ العنصر يُعاد إلى المجموعة، يتوفّر للموضع الثاني مرّة أخرى \(n\) خياراً، وهكذا في جميع المواضع الـ\(r\). وبضرب هذه الخيارات نحصل على \(n \times n \times \dots \times n\) (مكرّرة \(r\) مرّة) \(= n^r\). ويختلف هذا عن التباديل بدون تكرار، حيث يقلّل كل اختيار من حجم المجموعة المتبقّية.
مثال محلول
رمز PIN مكوّن من 4 أرقام يستخدم الأرقام من 0 إلى 9، ويُسمح بتكرار الأرقام. هنا \(n = 10\) و \(r = 4\)، إذاً $$P = 10^4 = 10{,}000$$ رمز ممكن. وبالمثل، كلمة مرور من 3 أحرف مأخوذة من 26 حرفاً لاتينياً صغيراً مع السماح بالتكرار تعطي $$26^3 = 17{,}576$$ احتمالاً.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بينه وبين التوفيق (التوليفة)؟ التوافيق لا تأخذ الترتيب في الاعتبار، بينما تأخذ التباديل الترتيب في الحسبان. فالتسلسل "AB" و"BA" يُعدّان تبديلين مختلفين لكنّهما توفيقة واحدة.
ماذا لو كانت r أكبر من n؟ لا مشكلة في ذلك مع التكرار، إذ يمكنك الاختيار عدداً من المرّات أكبر من عدد العناصر المختلفة لأنّ كل عنصر يمكن إعادة استخدامه، مثال: \(2^5 = 32\).
كم تساوي \(n^0\)؟ أي قيمة \(n\) غير صفرية مرفوعة للأُسّ 0 تساوي 1: فهناك طريقة واحدة فقط لعدم اختيار أي شيء (الترتيب الفارغ).
