ما هو التبديل (Permutation)؟
التبديل هو ترتيب للعناصر يكون فيه الترتيب مهمًّا. يخبرك قانون التباديل \(P(n,r)\) بعدد الطرق المرتّبة المختلفة التي يمكنك بها اختيار r عنصرًا من مجموعة مكوّنة من n عنصرًا متمايزًا. وعلى عكس التوافيق (Combinations)، فإن تبديل موضعَي عنصرين مختارَين ينتج عنه تبديل جديد ومختلف.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل العدد الإجمالي للعناصر المتمايزة (n)، ثم عدد العناصر التي تريد اختيارها وترتيبها (r). تعرض الحاسبة فورًا عدد التباديل الممكنة. لاحظ أنّ قيمة r يجب أن تكون أصغر من أو تساوي n؛ فإذا تجاوزت r قيمة n كانت النتيجة 0، لأنك لا تستطيع اختيار عناصر أكثر من المتاح فعليًّا.
شرح القانون
قانون التباديل هو $$P(n,r) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ حيث يرمز "!" إلى المضروب (Factorial)، أي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى ذلك العدد. وعمليًّا يتبسّط الأمر إلى ضرب r من الأعداد الصحيحة المتتالية المتناقصة بدءًا من n، أي: \(n \times (n-1) \times \ldots \times (n-r+1)\). وهذا يجنّبك حساب قيم المضروب الضخمة مباشرةً.
مثال محلول
لنفترض أنّ ناديًا يضمّ 5 أعضاء ويحتاج إلى انتخاب رئيس ونائب للرئيس — أي اختيار وترتيب شخصين من بين 5. عندئذٍ يكون $$P(5,2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20$$ إذن هناك 20 نتيجة مرتّبة ممكنة.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين التبديل والتوفيق؟ في التباديل يكون الترتيب مهمًّا، أمّا في التوافيق فلا يؤثّر الترتيب. وقيمة \(P(n,r)\) تكون دائمًا أكبر من أو تساوي \(C(n,r)\).
ما قيمة \(P(n,0)\)؟ تساوي 1 — فهناك طريقة واحدة فقط لترتيب صفر عنصر (الترتيب الفارغ).
ما قيمة \(P(n,n)\)؟ تساوي \(n!\)، أي عدد الطرق الممكنة لترتيب جميع العناصر n مرتّبةً.
