ما المقصود بالتباديل مع التكرار؟
التباديل مع التكرار هي طريقة لحساب عدد الترتيبات المرتبة التي يمكن تكوينها عند اختيار r عنصرًا من مجموعة مكوّنة من n عنصرًا متميزًا، مع إمكانية إعادة استخدام كل عنصر أكثر من مرة. وبما أن الترتيب مهم والتكرار مسموح به، فإن عدد الاحتمالات يتزايد بسرعة كبيرة — وهو يتبع قانون القوة البسيط \(P = n^{r}\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمتين: n، وهي عدد العناصر المتميزة المتاحة (مثل الأرقام العشرة من 0 إلى 9)، وr، وهي عدد الاختيارات أو المواضع المراد ملؤها (مثل رمز PIN مكوّن من 4 أرقام). تعرض الحاسبة على الفور قيمة \(n^{r}\)، أي إجمالي عدد الترتيبات المرتبة الممكنة.
شرح القانون
يمكن ملء كل موضع من المواضع البالغ عددها r بأي عنصر من العناصر البالغ عددها n بشكل مستقل. ووفقًا لمبدأ الضرب، تتضاعف الاختيارات على النحو التالي: \(n \times n \times \cdots \times n\) (مكررة r مرة) \(= n^{r}\). ويختلف هذا عن التباديل بدون تكرار \(\left(\frac{n!}{(n-r)!}\right)\)، حيث يُستخدم كل عنصر مرة واحدة فقط.
مثال محلول
كم عدد رموز PIN المكوّنة من 4 أرقام التي يمكن تكوينها باستخدام الأرقام من 0 إلى 9؟ هنا n = 10 و r = 4، إذن $$P = 10^{4} = 10{,}000$$ رمز ممكن. وبالمثل، فإن كلمة مرور مكوّنة من 3 أحرف باستخدام 26 حرفًا تعطينا \(26^{3} = 17{,}576\) احتمالًا.
الأسئلة الشائعة
متى ينبغي أن أستخدم التكرار؟ استخدمه كلما كان بإمكان العنصر أن يظهر أكثر من مرة، مثل الأرقام في رمز PIN، أو الأحرف في كلمة المرور، أو رميات حجر النرد.
ماذا لو كانت r = 0؟ وفقًا للاصطلاح الرياضي، فإن \(n^{0} = 1\) — أي يوجد ترتيب واحد فقط (وهو الاختيار الفارغ).
ما الفرق بين هذا وبين التوافيق؟ التوافيق لا تأخذ الترتيب في الاعتبار، بينما التباديل تحسب كل ترتيب على حدة، مما ينتج عنه أعداد أكبر.
