¿Qué es una permutación con repetición?
Una permutación con repetición cuenta cuántas ordenaciones distintas puedes formar al elegir r elementos de un conjunto de n elementos diferentes, pudiendo reutilizar cada elemento tantas veces como quieras. Como el orden importa y se permiten las repeticiones, el resultado crece a gran velocidad y sigue una sencilla regla de potencias: $$P = \text{n}^{\,\text{r}}$$
Cómo usar esta calculadora
Introduce dos valores: n, el número de elementos distintos disponibles (por ejemplo, las 10 cifras del 0 al 9), y r, el número de selecciones o posiciones que hay que rellenar (por ejemplo, un PIN de 4 cifras). La calculadora devuelve al instante \(\text{n}^{\,\text{r}}\), es decir, el total de ordenaciones posibles.
La fórmula explicada
Cada una de las r posiciones puede ocuparse de forma independiente con cualquiera de los n elementos. Según el principio multiplicativo, las opciones se multiplican: \(\text{n} \times \text{n} \times \ldots \times \text{n}\) (r veces) \(= \text{n}^{\,\text{r}}\). Esto se diferencia de las permutaciones sin repetición \(\left(\frac{n!}{(n-r)!}\right)\), en las que cada elemento solo puede usarse una vez.
Ejemplo práctico
¿Cuántos PIN de 4 cifras se pueden formar con los dígitos del 0 al 9? Aquí \(n = 10\) y \(r = 4\), por lo que $$P = 10^{4} = 10\,000 \text{ PIN posibles.}$$ Del mismo modo, una contraseña de 3 caracteres con 26 letras da \(26^{3} = 17\,576\) combinaciones.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo debo usar la repetición? Siempre que un elemento pueda aparecer más de una vez, como las cifras de un PIN, los caracteres de una contraseña o las tiradas de un dado.
¿Y si r = 0? Por convención, \(\text{n}^{0} = 1\): existe exactamente una ordenación (la selección vacía).
¿En qué se diferencia de las combinaciones? Las combinaciones no tienen en cuenta el orden, mientras que las permutaciones cuentan cada ordenación por separado, lo que da totales mayores.
