¿Qué es la calculadora de combinaciones posibles?
Esta herramienta cuenta cuántos grupos distintos de r elementos puedes seleccionar de un conjunto de n elementos cuando el orden no importa. El número de combinaciones se escribe \(C(n, r)\), se lee «n sobre r» o «combinaciones de n elementos tomados de r en r», y aparece por todas partes: desde las probabilidades de la lotería y las manos de cartas hasta la elección de comités y los problemas de probabilidad.
Cómo usarla
Introduce el número total de elementos disponibles (n) y cuántos quieres elegir (r). La calculadora devuelve \(C(n, r)\), el número de selecciones sin orden, y también muestra \(P(n, r)\), el número de disposiciones ordenadas, para que puedas compararlas. Si r es mayor que n, el resultado es 0, ya que no puedes elegir más elementos de los que existen.
La fórmula explicada
La fórmula de las combinaciones es $$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$ Aquí \(n!\) («factorial de n») es el producto de todos los números enteros del 1 al n. Dividir entre \(r!\) elimina las ordenaciones repetidas (en las combinaciones el orden es irrelevante), y dividir entre \((n - r)!\) tiene en cuenta los elementos que se quedan fuera. Las permutaciones usan $$P(n, r) = \frac{n!}{\left(n - r\right)!}$$ que sí mantiene el orden y, por tanto, cuenta más disposiciones: \(P(n, r) = C(n, r) \times r!\).
Ejemplo resuelto
¿Cuántos equipos de 2 personas puedes formar a partir de 5 personas? $$C(5, 2) = \frac{5!}{2!\,\cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = \mathbf{10}$$ Hay 10 parejas posibles. En cambio, \(P(5, 2) = \frac{5!}{3!} = 20\), porque ahí el orden sí importaría (por ejemplo, primero capitán y luego suplente).
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre combinaciones y permutaciones? Las combinaciones ignoran el orden (\(\{A, B\} = \{B, A\}\)); las permutaciones tienen en cuenta el orden (\(\{A, B\} \neq \{B, A\}\)).
¿Cuánto vale \(C(n, 0)\)? Siempre 1: solo hay una forma de no elegir nada.
¿Puede r ser igual a n? Sí. \(C(n, n) = 1\), la única manera de tomar el conjunto completo.
