Qué hace esta calculadora
Esta herramienta genera una tabla de combinaciones con repetición, también conocidas como coeficientes de multiconjunto. Dados n tipos de elementos distintos, calcula cuántas selecciones sin orden de tamaño r puedes formar cuando cada elemento puede elegirse tantas veces como quieras, y lo hace para cada valor entero de r desde un valor inicial hasta uno final. La función se escribe \(H(n, r)\) y es igual al coeficiente binomial \(C(n + r - 1, r)\).
Cómo usarla
Introduce el número de elementos distintos n (mínimo 1) y, a continuación, el valor inicial y el valor final de r. La calculadora devuelve una fila por cada valor de r, cada una con el recuento exacto \(H(n, r)\). Como estas cifras crecen a una velocidad enorme, el motor trabaja con aritmética exacta de enteros grandes, de modo que incluso las tablas más extensas conservan toda su precisión.
La fórmula explicada
El clásico razonamiento de «estrellas y barras» demuestra que elegir r elementos entre n tipos con repetición equivale a colocar r estrellas idénticas en n casillas separadas por n − 1 barras. El número de disposiciones de estos n + r − 1 símbolos es \(C(n + r - 1, r)\). Conviene tener presentes dos casos especiales: \(H(n, 0) = 1\) (la selección vacía) y \(H(1, r) = 1\) (existe un único multiconjunto formado por r copias del único elemento).
Ejemplo resuelto
Tomemos n = 5 y r desde 0 hasta 4.
$$H(5,0) = C(4,0) = 1$$$$H(5,1) = C(5,1) = 5$$$$H(5,2) = C(6,2) = 15$$$$H(5,3) = C(7,3) = 35$$$$H(5,4) = C(8,4) = 70$$Así, la tabla queda 1, 5, 15, 35, 70. Como segunda comprobación:
$$H(30,4) = C(33,4) = \frac{33\cdot 32\cdot 31\cdot 30}{24} = 40920$$Preguntas frecuentes
¿En qué se diferencia esto de las combinaciones normales? Las combinaciones ordinarias \(C(n, r)\) no permiten repeticiones; aquí cada tipo de elemento puede elegirse varias veces, y por eso el índice pasa a ser \(n + r - 1\).
¿Importa el orden? No. {A, A, B} es la misma selección que {B, A, A}. Si el orden importara, usarías permutaciones con repetición (\(n^r\)) en su lugar.
¿Por qué los recuentos pueden ser tan grandes? El coeficiente de multiconjunto crece aproximadamente como un polinomio de grado \(n - 1\) en r, así que valores grandes de n o de r producen enteros astronómicos, que aquí se manejan con aritmética exacta.
