यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल पुनरावृत्ति सहित संयोजन (combinations with repetition) की एक तालिका बनाता है, जिन्हें मल्टीसेट गुणांक भी कहा जाता है। जब आपके पास n अलग-अलग प्रकार की वस्तुएं हों, तो यह गणना करता है कि आप r आकार के कितने तरह के चयन (बिना क्रम के) कर सकते हैं — जबकि हर वस्तु को कितनी भी बार चुना जा सकता है। यह गणना r के हर पूर्णांक मान के लिए होती है, एक शुरुआती मान से एक अंतिम मान तक। इस फलन को \(H(n, r)\) लिखा जाता है और यह द्विपद गुणांक \(C(n + r - 1, r)\) के बराबर होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अलग-अलग वस्तुओं की संख्या n दर्ज करें (कम से कम 1), फिर r का एक शुरुआती मान और एक अंतिम मान भरें। कैलकुलेटर हर r के लिए एक पंक्ति देता है, जिसमें \(H(n, r)\) की सटीक संख्या दिखती है। चूँकि ये संख्याएं बहुत तेज़ी से बढ़ती हैं, इसलिए इंजन सटीक बिग-इंटीजर अंकगणित (big-integer arithmetic) का उपयोग करता है, ताकि बड़ी तालिकाएं भी पूरी तरह सटीक रहें।
सूत्र की व्याख्या
प्रसिद्ध "स्टार्स एंड बार्स" (तारे और रेखाएं) तर्क बताता है कि n प्रकारों में से r वस्तुओं को पुनरावृत्ति सहित चुनना ठीक वैसा ही है जैसे r एक जैसे तारों को n डिब्बों में रखना, जिन्हें n − 1 रेखाओं से अलग किया गया हो। इन n + r − 1 चिह्नों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या \(C(n + r - 1, r)\) होती है। $$\overline{C}(n, r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$ दो विशेष स्थितियां ध्यान देने योग्य हैं: \(H(n, 0) = 1\) (खाली चयन) और \(H(1, r) = 1\) (एक ही वस्तु की r प्रतियों वाला केवल एक मल्टीसेट)।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(n = 5\) और r का मान 0 से 4 तक। \(H(5,0) = C(4,0) = 1\), \(H(5,1) = C(5,1) = 5\), \(H(5,2) = C(6,2) = 15\), \(H(5,3) = C(7,3) = 35\), और \(H(5,4) = C(8,4) = 70\)। तो तालिका इस प्रकार बनती है: 1, 5, 15, 35, 70। एक और जाँच के तौर पर, $$H(30,4) = C(33,4) = \frac{33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30}{24} = 40920$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
यह सामान्य संयोजन से कैसे अलग है? सामान्य संयोजन \(C(n, r)\) में दोहराव की अनुमति नहीं होती; यहाँ हर प्रकार की वस्तु को कई बार चुना जा सकता है, इसीलिए सूचकांक \(n + r - 1\) बन जाता है।
क्या क्रम मायने रखता है? नहीं। {A, A, B} वही चयन है जो {B, A, A} है। अगर क्रम मायने रखता, तो आप पुनरावृत्ति सहित क्रमचय (permutations with repetition, यानी \(n^r\)) का उपयोग करते।
संख्याएं इतनी बड़ी क्यों हो जाती हैं? मल्टीसेट गुणांक लगभग r में \((n - 1)\) घात वाले बहुपद की तरह बढ़ता है, इसलिए बड़ा n या बड़ा r खगोलीय रूप से बड़ी संख्याएं पैदा करता है — जिन्हें यहाँ सटीक अंकगणित से संभाला जाता है।
