ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تُنشئ هذه الأداة جدولًا لـالتوافيق مع التكرار، والمعروفة أيضًا بمعاملات المجموعات المتعددة (multiset coefficients). إذا كان لديك n من أنواع العناصر المتمايزة، فإنها تحسب عدد الاختيارات غير المرتّبة التي يمكنك تكوينها بحجم r عندما يُسمح باختيار كل عنصر أي عدد من المرات — وذلك لكل قيمة صحيحة لـr من قيمة البداية حتى قيمة النهاية. تُكتب الدالة على الصورة \(H(n, r)\) وتساوي معامل ذات الحدين \(C(n + r - 1, r)\).
كيفية الاستخدام
أدخل عدد العناصر المتمايزة n (على الأقل 1)، ثم قيمة البداية وقيمة النهاية لـr. تُعيد الحاسبة صفًا واحدًا لكل قيمة من r، يُظهر كل صف القيمة الدقيقة لـ \(H(n, r)\). ولأن هذه الأعداد تنمو بسرعة هائلة، يعتمد المُحرّك على حسابات دقيقة بأعداد كبيرة (big-integer)، بحيث تبقى الجداول الكبيرة دقيقة تمامًا.
شرح الصيغة
يُبيّن برهان "النجوم والفواصل" (stars and bars) الشهير أن اختيار r من العناصر من بين n نوعًا مع السماح بالتكرار يكافئ توزيع r من النجوم المتطابقة على n من الصناديق التي تفصل بينها n − 1 من الفواصل. وعدد ترتيبات هذه الرموز الـ n + r − 1 هو \(C(n + r - 1, r)\).
$$\overline{C}(n, r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$
وهناك حالتان خاصتان مهمتان: \(H(n, 0) = 1\) (الاختيار الفارغ)، و \(H(1, r) = 1\) (لا توجد سوى مجموعة متعددة واحدة مكوّنة من r نسخة من العنصر الوحيد).
مثال محلول
لنأخذ \(n = 5\) و r من 0 إلى 4. عندئذٍ
$$H(5,0) = C(4,0) = 1$$
$$H(5,1) = C(5,1) = 5$$
$$H(5,2) = C(6,2) = 15$$
$$H(5,3) = C(7,3) = 35$$
$$H(5,4) = C(8,4) = 70$$
وبذلك يكون الجدول: 1، 5، 15، 35، 70. وكتحقق ثانٍ:
$$H(30,4) = C(33,4) = \frac{33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30}{24} = 40920$$
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين هذا والتوافيق العادية؟ التوافيق العادية \(C(n, r)\) لا تسمح بالتكرار؛ أما هنا فيمكن اختيار كل نوع من العناصر عدة مرات، ولهذا يصبح الدليل \(n + r - 1\).
هل يهمّ الترتيب؟ لا. فالاختيار {A, A, B} هو نفسه {B, A, A}. أما إذا كان الترتيب مهمًا فستستخدم التباديل مع التكرار (\(n^r\)) بدلًا من ذلك.
لماذا قد تصبح الأعداد كبيرة إلى هذا الحد؟ ينمو معامل المجموعات المتعددة تقريبًا مثل كثير حدود من الدرجة \(n - 1\) بدلالة r، لذا فإن القيم الكبيرة لـ n أو r تنتج أعدادًا صحيحة هائلة الحجم — وتُعالَج هنا بحسابات دقيقة.
