ما هي التباديل مع التكرار؟
التباديل مع التكرار (وتُعرف أيضاً بالتباديل مع الإحلال) تحسب عدد الترتيبات المرتّبة لـ \(r\) عنصراً مختارة من مجموعة مكوّنة من \(n\) عنصراً متمايزاً، مع إمكانية إعادة استخدام كل عنصر أي عدد من المرات. وبما أن كل موضع من المواضع الـ \(r\) يمكن أن يُملأ بشكل مستقل بأي عنصر من العناصر الـ \(n\)، فإن العدد الإجمالي هو حاصل ضرب \(n\) في نفسه \(r\) مرة، ويُكتب على الصورة \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\). ويختلف هذا عن التباديل العادية \({}_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}\) التي تمنع التكرار.
كيف تستخدم هذه الحاسبة
أدخل عدد العناصر المتمايزة \(n\)، ثم اختر قيمة البداية لـ \(r\) وقيمة النهاية لـ \(r\). تنشئ الأداة صفاً واحداً لكل عدد صحيح \(r\) ضمن هذا النطاق الشامل، وتطبع \(n^{r}\) لكل قيمة. ولأن هذه الأعداد تنمو بسرعة هائلة، تستخدم الحاسبة داخلياً حساب الأعداد الصحيحة الكبيرة بدقة تامة، وتتيح لك اختيار عدد الأرقام المعنوية التي تُعرض (الافتراضي 18). وإذا أدخلت قيمة بداية أكبر من قيمة النهاية، فسيتم تبديلهما لكي يبقى الجدول مرتباً تصاعدياً.
شرح المعادلة
القاعدة الأساسية هي $$ {}_{n}\Pi_{r} = n^{r} $$ فكل موضع من المواضع الـ \(r\) هو اختيار مستقل من بين \(n\) خياراً، ووفقاً لمبدأ الضرب تتضاعف الترتيبات: \(n \times n \times \cdots \times n\) (بعدد \(r\) عامل). وتنبثق الحالات الخاصة مباشرة من ذلك: عندما \(r = 0\) يوجد ترتيب واحد فقط (الترتيب الفارغ)، إذن \(n^{0} = 1\) لأي قيمة \(n\)، بما في ذلك الاصطلاح \(0^{0} = 1\) المعتمد هنا. وعندما \(n = 0\) و \(r > 0\)، لا توجد عناصر لوضعها، فيكون العدد 0.
مثال محلول
عند \(n = 17\) و \(r\) يتراوح من 0 إلى 20، يبدأ الجدول بالقيم 1، 17، 289، 4,913، 83,521، ... وينتهي عند \(r = 20\) بالقيمة $$ 17^{20} = 4{,}064{,}231{,}406{,}647{,}572{,}522{,}401{,}601 $$ أي ما يقارب \(4.06 \times 10^{24}\). وللتحقق ببساطة: عند \(n = 2\) و \(r\) من 0 إلى 4 تحصل على 1، 2، 4، 8، 16، وهو بالضبط عدد السلاسل الثنائية بكل طول.
الأسئلة الشائعة
لماذا \(n^{0} = 1\)؟ توجد طريقة واحدة فقط لترتيب صفر عنصر: ألّا تختار شيئاً. وهذا الترتيب الفارغ يجعل المعادلة متسقة.
ما الفرق بين هذا و \({}_{n}P_{r}\)؟ التباديل العادية \({}_{n}P_{r}\) لا تسمح بإعادة الاستخدام، وتعطي \(\frac{n!}{(n-r)!}\). أما هنا فالتكرار مسموح، لذا يملك كل موضع جميع الخيارات الـ \(n\) وتكون النتيجة \(n^{r}\).
لماذا تُعرض الأعداد الكبيرة مقرّبة؟ الحساب الداخلي دقيق تماماً، لكن النتائج الضخمة جداً تُعرض بعدد مختار من الأرقام المعنوية لتسهيل قراءتها.
