Chỉnh hợp lặp là gì?
Chỉnh hợp lặp (còn gọi là chỉnh hợp có lặp lại) đếm số cách sắp xếp có thứ tự của r phần tử được chọn từ một tập gồm n phần tử khác nhau, trong đó mỗi phần tử có thể được dùng lại bao nhiêu lần tùy ý. Vì mỗi trong số r vị trí đều có thể được điền độc lập bằng bất kỳ phần tử nào trong n phần tử, nên tổng số cách bằng n nhân với chính nó r lần, viết là \({}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}\). Điều này khác với chỉnh hợp thông thường \({}_{\text{n}}P_{r} = n!/(n-r)!\), vốn không cho phép lặp lại.
Cách dùng công cụ này
Nhập số phần tử khác nhau n, sau đó chọn giá trị đầu và giá trị cuối của r. Công cụ sẽ tạo một dòng cho mỗi số nguyên r trong khoảng (bao gồm cả hai đầu mút) và in ra \(n^r\) tương ứng. Vì các con số này tăng cực nhanh, công cụ dùng số học số nguyên lớn chính xác bên trong và cho phép bạn chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị (mặc định là 18). Nếu bạn nhập giá trị đầu lớn hơn giá trị cuối, chúng sẽ được tự động đổi chỗ để bảng vẫn hiển thị theo thứ tự tăng dần.
Giải thích công thức
Quy tắc cốt lõi là $$ {}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}, \quad r = \text{r}_{\text{start}}, \dots, \text{r}_{\text{end}} $$ Mỗi trong số r vị trí là một lựa chọn độc lập trong n phương án, nên theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp được nhân lại với nhau: \(n \times n \times \dots \times n\) (r thừa số). Các trường hợp đặc biệt suy ra trực tiếp: khi r = 0 thì có đúng một cách sắp xếp (sắp xếp rỗng), nên \(n^0 = 1\) với mọi n, kể cả quy ước \(0^0 = 1\) được dùng ở đây. Khi n = 0 và r > 0, không có phần tử nào để đặt nên số cách bằng 0.
Ví dụ minh họa
Với n = 17 và r chạy từ 0 đến 20, bảng bắt đầu là 1, 17, 289, 4.913, 83.521, ... và kết thúc tại r = 20 với $$ 17^{20} = 4{.}064{.}231{.}406{.}647{.}572{.}522{.}401{.}601 $$ tức khoảng \(4{,}06 \times 10^{24}\). Một phép kiểm tra nhanh đơn giản hơn: với n = 2 và r từ 0 đến 4 bạn sẽ được 1, 2, 4, 8, 16 — đúng bằng số chuỗi nhị phân của mỗi độ dài.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao \(n^0 = 1\)? Chỉ có đúng một cách sắp xếp không phần tử nào: không chọn gì cả. Sắp xếp rỗng này giúp công thức luôn nhất quán.
Cái này khác nPr ở chỗ nào? Chỉnh hợp thông thường \({}_{\text{n}}P_{r}\) không cho phép dùng lại phần tử, cho kết quả \(n!/(n-r)!\). Ở đây có cho phép lặp lại, nên mỗi vị trí đều có đủ n lựa chọn và đáp án là \(n^r\).
Vì sao các số lớn lại được hiển thị làm tròn? Phép tính bên trong là chính xác tuyệt đối, nhưng những kết quả rất lớn được hiển thị với số chữ số có nghĩa do bạn chọn để dễ đọc hơn.
