Công cụ lập bảng hoán vị nPr là gì?
Công cụ này nhận vào một số lượng đối tượng phân biệt là n, rồi xuất ra bảng hoán vị nPr đầy đủ cho mọi giá trị của r từ 0 đến n. Hoán vị cho biết có bao nhiêu cách sắp xếp r đối tượng được chọn từ n đối tượng khi thứ tự có ý nghĩa. Vì kết quả tăng theo tốc độ giai thừa nên công cụ sử dụng phép tính số nguyên lớn (big-integer) chính xác, nhờ vậy ngay cả những giá trị rất lớn như 30! cũng được hiển thị đúng từng chữ số. Đây là toán tổ hợp thuần túy và áp dụng giống hệt nhau ở mọi nơi; không phụ thuộc vào quốc gia hay vùng lãnh thổ nào.
Cách sử dụng
Nhập số đối tượng n (một số nguyên không âm, mặc định là 30) rồi bấm tính. Công cụ sẽ trả về tổng số cách sắp xếp tất cả các đối tượng (\({}_{n}P_{n} = n!\)) làm con số chính, kèm theo một bảng liệt kê từng dòng giá trị nPr ứng với r = 0, 1, 2, ..., n. Hãy đọc mỗi dòng là "số cách sắp xếp có thứ tự khi chọn r trong số n đối tượng".
Giải thích công thức
Công thức cơ bản là $${}_{n}P_{r} = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - r\right)!}$$ Một cách viết tương đương, nPr chính là tích giai thừa giảm dần \(n \times (n-1) \times \ldots \times (n - r + 1)\), gồm đúng r thừa số giảm dần. Các trường hợp đặc biệt: \({}_{n}P_{0} = 1\) (cách sắp xếp rỗng), \({}_{n}P_{1} = n\), và \({}_{n}P_{n} = n!\). Công cụ lập bảng một cách hiệu quả bằng cách bắt đầu với \(P = 1\) rồi nhân thêm \((n - r + 1)\) ở mỗi bước, nhờ đó không cần tính riêng từng giai thừa khổng lồ.
Ví dụ minh họa (n = 5)
Bắt đầu từ 1 rồi nhân giảm dần: \({}_{5}P_{0} = 1\), \({}_{5}P_{1} = 5\), \({}_{5}P_{2} = 5 \times 4 = 20\), \({}_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60\), \({}_{5}P_{4} = 120\), và \({}_{5}P_{5} = 120\). Lưu ý rằng \({}_{5}P_{4}\) và \({}_{5}P_{5}\) bằng nhau vì thừa số cuối cùng là 1.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao nP0 lại bằng 1? Chỉ có đúng một cách để sắp xếp không đối tượng nào: đó là cách sắp xếp rỗng.
Nếu r lớn hơn n thì sao? Bạn không thể chọn nhiều đối tượng hơn số sẵn có, nên \({}_{n}P_{r} = 0\); vì vậy bảng dừng lại ở r = n.
nPr khác với tổ hợp nCr như thế nào? Hoán vị đếm số cách sắp xếp có thứ tự, còn tổ hợp đếm số cách chọn không xét thứ tự. Chúng liên hệ với nhau qua công thức \({}_{n}P_{r} = {}_{n}C_{r} \times r!\).
