Qu'est-ce que le calculateur de table des permutations nPr ?
Cet outil part d'un nombre unique d'objets distincts, \(n\), et produit une table complète des permutations \({}_{n}P_{r}\) pour chaque valeur de \(r\), de 0 jusqu'à \(n\). Une permutation compte le nombre de façons d'arranger \(r\) objets choisis parmi \(n\) lorsque l'ordre compte. Comme les résultats croissent de manière factorielle, le calculateur s'appuie sur une arithmétique exacte en grands entiers : même des valeurs très élevées comme \(30!\) s'affichent avec précision. Il s'agit de combinatoire pure, valable à l'identique partout dans le monde ; cet outil n'est lié à aucun pays particulier.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre d'objets \(n\) (un entier positif ou nul, par défaut 30), puis validez. Le calculateur affiche le nombre total d'arrangements de tous les objets (\({}_{n}P_{n} = n!\)) en chiffre principal, accompagné d'une table ligne par ligne donnant \({}_{n}P_{r}\) pour \(r = 0, 1, 2, ..., n\). Chaque ligne se lit ainsi : « le nombre d'arrangements ordonnés lorsqu'on choisit \(r\) objets parmi les \(n\) disponibles ».
La formule expliquée
La formule de base est $${}_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!}$$ De façon équivalente, \({}_{n}P_{r}\) correspond à la factorielle décroissante \(n \times (n-1) \times ... \times (n - r + 1)\), un produit de \(r\) termes décroissants exactement. Cas particuliers : \({}_{n}P_{0} = 1\) (l'arrangement vide), \({}_{n}P_{1} = n\) et \({}_{n}P_{n} = n!\). Le calculateur construit la table efficacement en partant de \(P = 1\) et en multipliant par \((n - r + 1)\) à chaque étape, ce qui évite de calculer séparément d'énormes factorielles.
Exemple détaillé (n = 5)
En partant de 1 et en multipliant pas à pas : \({}_{5}P_{0} = 1\), \({}_{5}P_{1} = 5\), \({}_{5}P_{2} = 5\times4 = 20\), \({}_{5}P_{3} = 5\times4\times3 = 60\), \({}_{5}P_{4} = 120\) et \({}_{5}P_{5} = 120\). Remarquez que \({}_{5}P_{4}\) et \({}_{5}P_{5}\) sont égaux, car le dernier facteur vaut 1.
FAQ
Pourquoi \({}_{n}P_{0}\) est-il égal à 1 ? Il n'existe qu'une seule façon d'arranger zéro objet : l'arrangement vide.
Que se passe-t-il si \(r\) est supérieur à \(n\) ? On ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'en existe, donc \({}_{n}P_{r} = 0\) ; la table s'arrête par conséquent à \(r = n\).
En quoi \({}_{n}P_{r}\) diffère-t-il des combinaisons \({}_{n}C_{r}\) ? Les permutations comptent les arrangements ordonnés, tandis que les combinaisons comptent les sélections non ordonnées. Elles sont liées par la relation \({}_{n}P_{r} = {}_{n}C_{r} \times r!\).
