排列数 nPr 表格计算器是什么？
这个工具只需输入一个数值——不同物品的个数 \(n\)，就能生成 \(r\) 从 0 到 \(n\) 每一个取值所对应的完整排列数 nPr 表格。所谓「排列」，指的是从 \(n\) 个物品中取出 \(r\) 个并考虑顺序时，一共有多少种排列方式。由于结果会随阶乘急剧增长，计算器采用精确的大整数运算，因此即使是 \(30!\) 这样的庞大数值也能精准显示，不会出现误差。这属于纯粹的组合数学，在任何国家和地区都通用，不存在区域差异。
如何使用
输入物品个数 \(n\)（非负整数，默认值为 30）后提交即可。计算器会把所有物品的全排列总数（\({}_{n}P_{n} = n!\)）作为重点结果突出显示，同时附上一张逐行列出的表格，依次给出 \(r = 0\)、1、2、……、\(n\) 时的 nPr 数值。每一行可理解为：「从 \(n\) 个物品中取出 \(r\) 个并排序时的有序排列方式数」。
公式详解
核心公式为 $$ {}_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!} $$ 换一种写法，\({}_{n}P_{r}\) 就是下降阶乘 \(n \times (n-1) \times \dots \times (n - r + 1)\)，即恰好由 \(r\) 个递减因子相乘得到。几种特殊情形：\({}_{n}P_{0} = 1\)（空排列），\({}_{n}P_{1} = n\)，\({}_{n}P_{n} = n!\)。计算器在构建表格时采用高效算法：从 \(P = 1\) 出发，每一步乘以 \((n - r + 1)\)，无需单独计算庞大的阶乘。
实例演示（n = 5）
从 1 开始逐项相乘：\({}_{5}P_{0} = 1\)，\({}_{5}P_{1} = 5\)，$$ {}_{5}P_{2} = 5 \times 4 = 20 $$ $$ {}_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60 $$ \({}_{5}P_{4} = 120\)，\({}_{5}P_{5} = 120\)。注意 \({}_{5}P_{4}\) 与 \({}_{5}P_{5}\) 相等，因为最后一个相乘的因子是 1。
常见问题
为什么 nP0 等于 1？排列零个物品只有一种方式，那就是「空排列」。
如果 r 大于 n 会怎样？你无法取出比现有数量更多的物品，因此 \({}_{n}P_{r} = 0\)；这也是表格在 \(r = n\) 处停止的原因。
排列数 nPr 和组合数 nCr 有什么区别？排列数计算的是「有顺序」的排列方式，组合数计算的是「不计顺序」的选取方式。两者的关系为 \({}_{n}P_{r} = {}_{n}C_{r} \times r!\)。
