什么是可重复排列？
可重复排列（也称为可放回排列）用于计算：从 n 个不同元素中有序地取出 r 个，且每个元素可以被重复使用任意多次时，一共能排出多少种有序结果。由于 r 个位置中的每一个都可以独立地从 n 个元素里任选一个，所以总数就是 n 自乘 r 次，记作 \({}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}\)。这与普通排列 \({}_{\text{n}}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}\) 不同，后者不允许重复取用同一个元素。
如何使用本计算器
先输入不同元素的个数 n，再设定 r 的起始值和结束值。工具会为该闭区间内的每一个整数 r 生成一行，并输出对应的 \(\text{n}^{r}\)。由于这些数值增长得极快，计算器在内部采用精确的大整数运算，并允许你自定义显示的有效数字位数（默认 18 位）。如果你填入的起始值大于结束值，二者会自动互换，确保表格依然按从小到大的顺序排列。
公式详解
核心规则就是 $${}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}, \quad r = \text{r}_{\text{start}}, \dots, \text{r}_{\text{end}}$$ r 个位置中的每一个都是在 n 个选项里独立地做选择，因此根据乘法原理，可能的排列方式相乘即可：\(n \times n \times \dots \times n\)（共 r 个因子）。几种特殊情形可直接推出：当 \(r = 0\) 时只有一种排法（空排列），所以对任意 n 都有 \(n^{0} = 1\)，本工具也采用 \(0^{0} = 1\) 这一约定；当 \(n = 0\) 且 \(r > 0\) 时，没有任何元素可供放置，因此结果为 0。
实例演示
当 n = 17、r 从 0 取到 20 时，表格开头依次为 1、17、289、4,913、83,521……，到 r = 20 时为 \(17^{20} = 4{,}064{,}231{,}406{,}647{,}572{,}522{,}401{,}601\)，约等于 \(4.06 \times 10^{24}\)。再看一个便于验证的小例子：当 n = 2、r 从 0 取到 4 时，结果为 1、2、4、8、16，正好对应各长度二进制字符串的数量。
常见问题
为什么 \(n^{0} = 1\)？排列零个元素只有一种方式：什么都不选。这个空排列让公式保持自洽。
它和 nPr 有什么区别？普通排列 \({}_{\text{n}}P_{r}\) 不允许重复取用，结果为 \(\frac{n!}{(n-r)!}\)。而这里允许重复，每个位置都有全部 n 种选择，因此答案是 \(n^{r}\)。
为什么大数会显示为四舍五入后的值？内部计算是完全精确的，只是为了便于阅读，超大的结果会按你指定的有效数字位数显示。
