重複順列とは
重複順列とは、異なる n 個のものから重複を許して r 個を選び、順番をつけて並べたときの総数のことです。同じものを何度でも使ってよいのが特徴で、r 個の各位置にはそれぞれ独立して n 通りの選び方があります。したがって総数は n を r 回掛け合わせた値となり、\({}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}\) と表します。これは重複を許さない通常の順列 \({}_{\text{n}}\text{P}_{r} = n! \div (n-r)!\) とは区別される考え方です。
この計算ツールの使い方
まず異なるものの個数 n を入力し、続いて r の開始値と終了値を指定してください。指定した範囲内のすべての整数 r について 1 行ずつ、\(\text{n}^{\,r}\) の値を表にして出力します。重複順列の値は非常に急激に大きくなるため、本ツールは内部で多倍長整数による厳密な計算を行い、表示する有効桁数（初期値は 18 桁）を自由に選べるようになっています。なお、開始値が終了値より大きい場合は自動的に入れ替えられ、表は常に小さい r から大きい r へ昇順に並びます。
公式の解説
基本となる式は $$ {}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}, \quad r = \text{r}_{\text{start}}, \dots, \text{r}_{\text{end}} $$ です。r 個の位置のそれぞれが n 通りから独立に選べるため、積の法則によって並べ方は掛け合わされ、\(n \times n \times \dots \times n\)（n を r 個掛ける）となります。特別な場合もこの式から自然に導けます。r = 0 のとき並べ方は「何も並べない」という 1 通りだけなので、どんな n でも \(n^0 = 1\) です（本ツールでは慣例として \(0^0 = 1\) とします）。また n = 0 かつ r > 0 のときは並べるものが存在しないため、総数は 0 になります。
計算例
n = 17、r を 0 から 20 まで変化させると、表は 1、17、289、4,913、83,521、… と始まり、r = 20 では $$ 17^{20} = 4{,}064{,}231{,}406{,}647{,}572{,}522{,}401{,}601 \approx 4.06 \times 10^{24} $$ に達します。もっと身近な確認として、n = 2、r を 0 から 4 まで変えると 1、2、4、8、16 となり、これは各長さの 2 進数文字列の総数とぴったり一致します。
よくある質問
なぜ \(n^0 = 1\) なのですか？ 0 個を並べる方法は「何も選ばない」という 1 通りだけ存在するからです。この「空の並べ方」を 1 と定めることで公式の整合性が保たれます。
nPr とは何が違うのですか？ 通常の順列 \({}_{\text{n}}\text{P}_{r}\) は同じものの再利用を許さず、\(n! \div (n-r)!\) で求めます。一方、重複順列では再利用が許されるため、どの位置でも n 通りの選択肢があり、答えは \(\text{n}^{\,r}\) になります。
大きな数が丸めて表示されるのはなぜですか？ 内部計算は厳密に行われていますが、非常に大きな結果は読みやすさのために、指定した有効桁数に丸めて表示しています。
