Что такое размещения с повторениями?
Размещения с повторениями (их также называют размещениями с возвращением) показывают, сколькими способами можно упорядоченно выбрать r элементов из множества n различных элементов, если каждый элемент разрешено использовать сколько угодно раз. Поскольку каждую из r позиций можно независимо заполнить любым из n элементов, общее число равно произведению n на себя r раз и записывается как \({}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}\). Это не то же самое, что обычные размещения \({}_{\text{n}}A_{r} = \tfrac{n!}{(n-r)!}\), где повторения запрещены.
Как пользоваться калькулятором
Введите число различных элементов n, затем задайте начальное и конечное значения r. Калькулятор строит по одной строке для каждого целого r из этого диапазона (концы включаются) и выводит \(n^r\) для каждого. Поскольку эти числа растут чрезвычайно быстро, внутри используется точная длинная арифметика, а вы можете выбрать, сколько значащих цифр показывать (по умолчанию 18). Если начальное значение окажется больше конечного, они меняются местами, чтобы таблица читалась по возрастанию.
Разбор формулы
Основное правило — $$ {}_{\text{n}}\Pi_{r} = \text{n}^{\,r}, \quad r = \text{r}_{\text{start}}, \dots, \text{r}_{\text{end}} $$ Каждая из r позиций — это независимый выбор из n вариантов, поэтому по правилу умножения варианты перемножаются: \(n \times n \times \dots \times n\) (всего r сомножителей). Частные случаи следуют сразу же: при \(r = 0\) существует ровно одно размещение (пустое), поэтому \(n^0 = 1\) для любого n, включая принятое здесь соглашение \(0^0 = 1\). Когда \(n = 0\), а \(r > 0\), размещать нечего, поэтому результат равен 0.
Разбор примера
Пусть \(n = 17\), а r меняется от 0 до 20. Таблица начинается со значений 1, 17, 289, 4913, 83 521, … и заканчивается на \(r = 20\) значением $$ 17^{20} = 4\,064\,231\,406\,647\,572\,522\,401\,601, $$ то есть примерно \(4{,}06 \times 10^{24}\). Простая проверка: при \(n = 2\) и r от 0 до 4 получаем 1, 2, 4, 8, 16 — ровно столько двоичных строк каждой длины.
Частые вопросы
Почему \(n^0 = 1\)? Есть ровно один способ разместить ноль элементов — не выбрать ничего. Это пустое размещение делает формулу непротиворечивой.
Чем это отличается от nAr? Обычные размещения \({}_{\text{n}}A_{r}\) не допускают повторений и дают \(\tfrac{n!}{(n-r)!}\). Здесь повторения разрешены, поэтому у каждой позиции есть все n вариантов, и ответ равен \(n^r\).
Почему большие числа показаны округлёнными? Внутренние вычисления точные, но очень крупные результаты выводятся с выбранным числом значащих цифр — так их удобнее читать.
