Что делает этот калькулятор
Инструмент строит таблицу значений двух тесно связанных специальных функций по диапазону x при заданных параметрах формы a и b. Нижняя неполная бета-функция \(B_x(a,b)\) — это интеграл бета-ядра от 0 до x, а регуляризованная неполная бета-функция \(I_x(a,b)\) — тот же интеграл, делённый на полную бета-функцию \(B(a,b)\). Кроме того, \(I_x(a,b)\) представляет собой функцию распределения (CDF) бета-распределения Beta(a,b) и лежит в основе функций распределения биномиального, Стьюдента (t), Фишера (F) и многих других распределений.
Как пользоваться
Введите параметры формы a и b (оба должны быть положительными). Задайте начальное значение x (Начальное значение x), шаг (Шаг приращения) и Число повторений (количество строк). Строка i вычисляется при \(x = \text{начальное\_x} + i \times \text{шаг}\). Значения удерживаются в пределах [0, 1]; как только x достигает 1, таблица останавливается. В верхнем блоке отображаются полная бета-функция \(B(a,b)\) и итоговая строка, а в прокручиваемой таблице перечислены все значения x вместе с \(B_x(a,b)\) и \(I_x(a,b)\).
Разбор формулы
Полная бета-функция вычисляется устойчивым способом: $$B(a,b) = \exp(\operatorname{lgamma}(a) + \operatorname{lgamma}(b) - \operatorname{lgamma}(a+b))$$ с использованием аппроксимации Ланцоша для логарифма гамма-функции. Регуляризованное значение \(I_x(a,b)\) находится с помощью классической непрерывной дроби из «Numerical Recipes» (алгоритм Ленца): при \(bt = \exp(\operatorname{lgamma}(a+b) - \operatorname{lgamma}(a) - \operatorname{lgamma}(b) + a\cdot\ln x + b\cdot\ln(1-x))\) используется \(I_x = bt\cdot\operatorname{betacf}(a,b,x)/a\), когда \(x < (a+1)/(a+b+2)\), и \(I_x = 1 - bt\cdot\operatorname{betacf}(b,a,1-x)/b\) в противном случае. Наконец, \(B_x(a,b) = I_x(a,b) \times B(a,b)\). Граничные точки \(I_0 = 0\) и \(I_1 = 1\) обрабатываются точно, чтобы избежать вычисления \(\log(0)\).
Разобранный пример
Для \(a = 1\), \(b = 3\): $$B(1,3) = \frac{\Gamma(1)\Gamma(3)}{\Gamma(4)} = \frac{1\cdot 2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333333.$$ При \(x = 0{,}5\) замкнутая формула даёт $$B_x = \frac{1 - (1-x)^3}{3} = \frac{1 - 0{,}125}{3} = 0{,}291667,$$ поэтому \(I_x = 0{,}291667 / 0{,}333333 = 0{,}875\). Проверка по свойству симметрии \(I_x(1,3) = 1 - (1-x)^3 = 1 - 0{,}125 = 0{,}875\) подтверждает результат.
Частые вопросы
Чем \(B_x\) отличается от \(I_x\)? \(B_x(a,b)\) — это «сырой» интеграл; \(I_x(a,b) = B_x(a,b)/B(a,b)\) нормирован и лежит в диапазоне от 0 до 1.
Почему a и b должны быть положительными? Интеграл и гамма-функции сходятся только при \(a > 0\) и \(b > 0\).
Что если шаг выводит x за пределы 1? Каждое значение x ограничивается единицей, и таблица останавливается на \(x = 1\), где \(B_x(a,b) = B(a,b)\) и \(I_x(a,b) = 1\).
