Công cụ này làm gì
Công cụ lập bảng hai hàm đặc biệt có liên hệ mật thiết với nhau trên một dải giá trị x, ứng với các tham số hình dạng a và b. Hàm beta không đầy đủ dưới \(B_x(a,b)\) là tích phân của nhân beta từ 0 đến x, còn hàm beta không đầy đủ chuẩn hóa \(I_x(a,b)\) chính là tích phân đó chia cho hàm beta đầy đủ \(B(a,b)\). \(I_x(a,b)\) cũng đồng thời là hàm phân phối tích lũy (CDF) của phân phối Beta(a,b) và là nền tảng cho CDF của các phân phối nhị thức, Student t, F cùng nhiều phân phối khác.
Cách sử dụng
Nhập các tham số hình dạng a và b (cả hai đều phải dương). Chọn giá trị x khởi đầu (Giá trị ban đầu của x), bước Gia số, và Số lần lặp (số dòng). Dòng thứ i dùng \(x = x_{\text{ban đầu}} + i \times \text{bước}\). Mọi giá trị được giữ trong khoảng [0, 1]; khi x đạt tới 1 thì bảng dừng lại. Khung kết quả nổi bật hiển thị hàm beta đầy đủ \(B(a,b)\) cùng dòng cuối cùng, trong khi bảng cuộn liệt kê mọi giá trị x kèm \(B_x(a,b)\) và \(I_x(a,b)\).
Giải thích công thức
Hàm beta đầy đủ được tính một cách ổn định theo $$B(a,b) = \exp\!\left(\operatorname{lgamma}(a) + \operatorname{lgamma}(b) - \operatorname{lgamma}(a+b)\right),$$ sử dụng xấp xỉ Lanczos cho hàm log-gamma. Giá trị chuẩn hóa \(I_x(a,b)\) được tính bằng phân số liên tục kinh điển của Numerical Recipes (thuật toán Lentz): với \(bt = \exp\!\left(\operatorname{lgamma}(a+b) - \operatorname{lgamma}(a) - \operatorname{lgamma}(b) + a\cdot\ln x + b\cdot\ln(1-x)\right)\), ta dùng \(I_x = bt\cdot\operatorname{betacf}(a,b,x)/a\) khi \(x < (a+1)/(a+b+2)\), ngược lại \(I_x = 1 - bt\cdot\operatorname{betacf}(b,a,1-x)/b\). Cuối cùng \(B_x(a,b) = I_x(a,b) \times B(a,b)\). Hai điểm biên \(I_0 = 0\) và \(I_1 = 1\) được xử lý chính xác để tránh \(\log(0)\).
Ví dụ minh họa
Với a = 1, b = 3: $$B(1,3) = \frac{\Gamma(1)\Gamma(3)}{\Gamma(4)} = \frac{1\cdot 2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333333.$$ Tại x = 0,5, công thức tường minh cho ra $$B_x = \frac{1 - (1-x)^3}{3} = \frac{1 - 0{,}125}{3} = 0{,}291667,$$ nên \(I_x = 0{,}291667 / 0{,}333333 = 0{,}875\). Phép kiểm tra đối xứng \(I_x(1,3) = 1 - (1-x)^3 = 1 - 0{,}125 = 0{,}875\) xác nhận kết quả này.
Câu hỏi thường gặp
\(B_x\) và \(I_x\) khác nhau ở điểm nào? \(B_x(a,b)\) là tích phân thô; còn \(I_x(a,b) = B_x(a,b)/B(a,b)\) đã được chuẩn hóa để nằm trong khoảng từ 0 đến 1.
Tại sao a và b phải dương? Tích phân và các hàm gamma chỉ hội tụ khi \(a > 0\) và \(b > 0\).
Nếu bước nhảy đẩy x vượt quá 1 thì sao? Mỗi giá trị x sẽ bị giới hạn về 1 và bảng dừng tại x = 1, nơi \(B_x(a,b) = B(a,b)\) và \(I_x(a,b) = 1\).
