Máy Tính Hàm Beta B(a,b)

Phương pháp	Tỉ số gamma qua log-gamma (Lanczos g=7)
Đẳng thức	B(a,b) = Γ(a)Γ(b) / Γ(a+b)
Tính đối xứng	B(a,b) = B(b,a)

Hàm Beta là gì?

Hàm Beta, hay còn gọi là tích phân Euler loại một, là một hàm đặc biệt của hai đối số, ký hiệu $B(a, b)$. Hàm này xuất hiện ở khắp nơi trong lý thuyết xác suất (phân phối Beta), thống kê, tổ hợp và việc tính các tích phân xác định. Máy tính này trả về giá trị số của $B(a, b)$ cho hai số thực $a$ và $b$ bất kỳ, kể cả các đối số âm — nơi hàm vẫn được xác định nhờ phần mở rộng qua tỉ số gamma.

Hàm Beta được định nghĩa là tích phân xác định từ 0 đến 1 của một đường cong, với phần diện tích dưới đường cong được tô bóng — Hàm Beta bằng diện tích dưới t^(a-1)(1-t)^(b-1) trên đoạn [0,1].

Cách sử dụng máy tính

Nhập đối số thứ nhất $a$ và đối số thứ hai $b$. Cả hai đều là số thuần túy, không thứ nguyên, nên bạn không cần đơn vị nào. Chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị (tối đa khoảng 15 chữ số mà kết quả độ chính xác kép có thể phân giải) và đọc giá trị $B(a, b)$ ngay trong ô kết quả nổi bật. Vì hàm có tính đối xứng nên việc hoán đổi $a$ và $b$ sẽ cho ra kết quả hoàn toàn giống nhau.

Giải thích công thức

Định nghĩa tích phân là $$B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt$$ với $\operatorname{Re}(a) > 0$ và $\operatorname{Re}(b) > 0$. Để tính toán, ta dùng dạng đóng tương đương $$B(a, b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$ Nhằm tránh tràn số khi đối số lớn, máy tính làm việc trên thang logarit: $$\ln B = \ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b),$$ sau đó lấy lũy thừa cơ số e và áp dụng dấu chính xác. Các giá trị gamma được tính bằng xấp xỉ Lanczos ($g = 7$), kết hợp công thức phản xạ $\Gamma(x)\,\Gamma(1-x) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}$ để xử lý các đối số nhỏ hơn 0,5.

Quảng cáo

Sơ đồ thể hiện hàm Beta là tỉ số của ba hộp hàm gamma — B(a,b) được tạo từ các hàm gamma: Gamma(a) nhân Gamma(b) chia cho Gamma(a+b).

Ví dụ minh họa

Với $a = 1{,}5$ và $b = 0{,}2$: $\Gamma(1{,}5) = \sqrt{\pi}/2 \approx 0{,}886227$, $\Gamma(0{,}2) \approx 4{,}590844$ và $\Gamma(1{,}7) \approx 0{,}908639$. Khi đó $$B(1{,}5;\, 0{,}2) = \frac{0{,}886227 \times 4{,}590844}{0{,}908639} \approx 4{,}47748.$$ Một phép kiểm tra gọn gàng: $$B(2, 3) = \frac{\Gamma(2)\,\Gamma(3)}{\Gamma(5)} = \frac{1 \cdot 2}{24} = \frac{1}{12} \approx 0{,}083333.$$

Quảng cáo

Các Thuật Ngữ và Ký Hiệu Chính

Hàm Beta $B(a,b)$: Hàm Beta Euler, được định nghĩa bởi tích phân $B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt$ cho $a,b>0$, và tương đương bằng tỉ số gamma $B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$. Nó có tính đối xứng: $B(a,b)=B(b,a)$.
Hàm Gamma $\Gamma(x)$: Sự mở rộng liên tục của giai thừa, $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt$ cho $x>0$, thỏa mãn $\Gamma(n)=(n-1)!$ đối với các số nguyên dương và $\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)$.
Tham số $a$ và $b$: Hai tham số thực của hàm Beta. Định nghĩa tích phân hội tụ cho $a>0$ và $b>0$; dạng tỉ số gamma mở rộng $B$ sang các giá trị thực khác ngoài những nơi các thừa số gamma có các điểm cực.
Log-gamma $\ln\Gamma(x)$: Logarit tự nhiên của hàm gamma. Tính toán $B$ bằng $\exp[\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)]$ tránh những giá trị trung gian rất lớn mà $\Gamma$ tự nó tạo ra, giữ cho kết quả ổn định về mặt số học.
Xấp xỉ Lanczos: Một xấp xỉ chuỗi được sử dụng rộng rãi cho $\Gamma(x)$ (và $\ln\Gamma(x)$) đạt độ chính xác cao với một bộ hệ số cố định nhỏ, thường được sử dụng bên trong các máy tính Beta và gamma.
Công thức phản xạ: Đẳng thức $\Gamma(x)\,\Gamma(1-x)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}$, được sử dụng để tính hàm gamma cho các tham số âm hoặc nhỏ nơi các chuỗi trực tiếp không áp dụng được.
Điểm cực / phân kỳ: Hàm gamma có các điểm cực tại $x=0,-1,-2,\dots$ nơi nó phân kỳ. Do đó $B(a,b)$ phân kỳ khi $a$ hoặc $b$ là số nguyên không dương (trừ khi bị triệt tiêu bởi mẫu số), nên những đầu vào như vậy không có giá trị hữu hạn.
Quan hệ với phân phối Beta: Hàm Beta là hằng số chuẩn hóa của phân phối Beta: mật độ xác suất của nó là $f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}$ trên $[0,1]$. Các tham số $a$ và $b$ tương tự xuất hiện trong trung bình và phương sai của phân phối Beta.

Câu hỏi thường gặp

$B(a, b)$ có luôn dương không? Với $a > 0$ và $b > 0$, hàm luôn dương và hữu hạn. Với các đối số âm không nguyên, dấu của kết quả tuân theo tích các dấu của những giá trị gamma thành phần.

Điều gì xảy ra tại các số nguyên không dương? Nếu $a$ hoặc $b$ bằng $0, -1, -2, \ldots$ thì kết quả phân kỳ (không xác định). Nếu chỉ riêng $a+b$ là số nguyên không dương, cực điểm ở mẫu số chiếm ưu thế và khi đó $B(a, b) = 0$.

Tại sao dùng tỉ số gamma thay vì tích phân? Vì đó là dạng đóng, tính nhanh hơn, và nhờ log-gamma nên vẫn giữ được độ chính xác cho cả đối số rất nhỏ lẫn rất lớn — những trường hợp mà tích phân trực tiếp gặp khó khăn.