베타 함수 B(a,b) 계산기

계산 방식	로그-감마를 이용한 감마 비율 (란초스 g=7)
항등식	B(a,b) = Γ(a)Γ(b) / Γ(a+b)
대칭성	B(a,b) = B(b,a)

베타 함수란?

베타 함수는 '제1종 오일러 적분'이라고도 불리며, $B(a, b)$로 표기하는 두 인자의 특수 함수입니다. 확률론(베타 분포), 통계학, 조합론, 그리고 정적분 계산 곳곳에서 등장합니다. 이 계산기는 임의의 두 실수 $a$, $b$에 대해 $B(a, b)$의 수치 값을 구해 주며, 함수가 감마 비율 형태로 확장되어 여전히 정의되는 음수 인자까지도 처리합니다.

0에서 1까지 곡선의 정적분으로 정의된 베타 함수로, 곡선 아래 넓이가 음영 처리되어 있음 — 베타 함수는 구간 [0,1]에서 $t^{a-1}(1-t)^{b-1}$ 아래의 넓이와 같다.

계산기 사용 방법

첫 번째 인자 $a$와 두 번째 인자 $b$를 입력하세요. 둘 다 단위 없는 순수한 숫자이므로 별도의 단위는 필요 없습니다. 표시할 유효 숫자 자릿수(배정밀도로 구분 가능한 약 15자리까지)를 선택하면, 결과 박스에서 $B(a, b)$ 값을 바로 확인할 수 있습니다. 베타 함수는 대칭이므로 $a$와 $b$를 바꿔 넣어도 정확히 같은 값이 나옵니다.

공식 풀이

적분 정의는 $\operatorname{Re}(a) > 0$, $\operatorname{Re}(b) > 0$일 때 $$B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt$$ 입니다. 실제 계산에서는 이와 동치인 닫힌 형태 $$B(a, b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$를 사용합니다. 큰 인자에서 오버플로를 피하기 위해 계산기는 로그를 활용합니다. $\ln B = \ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b)$를 구한 뒤 지수를 취하고 올바른 부호를 적용합니다. 감마 값은 란초스(Lanczos) 근사($g = 7$)로 얻으며, 0.5 미만의 인자는 반사 공식 $\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}$로 처리합니다.

베타 함수를 세 개의 감마 함수 상자의 비율로 나타낸 도식 — $B(a,b)$는 감마 함수로 구성된다: $\Gamma(a)$ 곱하기 $\Gamma(b)$를 $\Gamma(a+b)$로 나눈 값.

계산 예시

$a = 1.5$, $b = 0.2$일 때: $\Gamma(1.5) = \sqrt{\pi}/2 \approx 0.886227$, $\Gamma(0.2) \approx 4.590844$, $\Gamma(1.7) \approx 0.908639$ 입니다. 따라서 $$B(1.5, 0.2) = \frac{0.886227 \times 4.590844}{0.908639} \approx 4.47748$$ 이 됩니다. 간단한 검산도 가능합니다. $$B(2, 3) = \frac{\Gamma(2)\Gamma(3)}{\Gamma(5)} = \frac{1\cdot 2}{24} = \frac{1}{12} \approx 0.083333.$$

주요 용어 및 기호

베타 함수 $B(a,b)$: 오일러 베타 함수는 $a,b>0$에 대해 적분 $B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt$로 정의되며, 감마 비율 $B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$로도 동등하게 정의됩니다. 대칭성을 가집니다: $B(a,b)=B(b,a)$.
감마 함수 $\Gamma(x)$: 계승의 연속 확장으로, $x>0$에 대해 $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt$로 정의되며, 양의 정수에 대해 $\Gamma(n)=(n-1)!$을 만족하고 $\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)$를 만족합니다.
인수 $a$ 및 $b$: 베타 함수의 두 실수 매개변수입니다. 적분 정의는 $a>0$ 및 $b>0$일 때 수렴합니다; 감마 비율 형식은 감마 인수가 극점을 갖는 경우를 제외하고 $B$를 다른 실수 값으로 확장합니다.
로그-감마 $\ln\Gamma(x)$: 감마 함수의 자연로그입니다. $B$를 $\exp[\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)]$로 계산하면 $\Gamma$ 자체가 생성하는 매우 큰 중간값을 피하고 결과를 수치적으로 안정적으로 유지합니다.
랑주스 근사: $\Gamma(x)$ (및 $\ln\Gamma(x)$)에 대한 널리 사용되는 급수 근사로, 작은 고정된 계수 집합으로 높은 정확도를 달성하며, 일반적으로 베타 및 감마 계산기 내부에서 사용됩니다.
반사 공식: 항등식 $\Gamma(x)\,\Gamma(1-x)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}$로, 직접 급수가 적용되지 않는 음수 또는 작은 인수에 대해 감마 함수를 평가하는 데 사용됩니다.
극점 / 발산: 감마 함수는 $x=0,-1,-2,\dots$에서 극점을 가지며 발산합니다. 결과적으로 $B(a,b)$는 $a$ 또는 $b$가 음이 아닌 정수일 때 발산합니다 (분모로 소거되지 않는 한), 따라서 이러한 입력은 유한한 값을 갖지 않습니다.
베타 분포와의 관계: 베타 함수는 베타 분포의 정규화 상수입니다: 확률 밀도는 $[0,1]$에서 $f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}$입니다. 같은 $a$ 및 $b$ 매개변수가 베타 분포 평균 및 분산에 나타납니다.