Beta Fonksiyonu B(a,b) Hesaplama Aracı

Yöntem	Log-gama ile gama oranı (Lanczos g=7)
Özdeşlik	B(a,b) = Γ(a)Γ(b) / Γ(a+b)
Simetri	B(a,b) = B(b,a)

Beta fonksiyonu nedir?

Birinci tür Euler integrali olarak da bilinen Beta fonksiyonu, $B(a, b)$ biçiminde yazılan iki değişkenli özel bir fonksiyondur. Olasılık kuramında (Beta dağılımı), istatistikte, kombinatorikte ve belirli integrallerin hesaplanmasında karşımıza çıkar. Bu hesaplama aracı, negatif değerler de dahil olmak üzere herhangi iki gerçek sayı $a$ ve $b$ için $B(a, b)$'nin sayısal değerini verir; çünkü fonksiyon, gama oranı genişlemesi sayesinde negatif argümanlarda da tanımlıdır.

0'dan 1'e bir eğrinin belirli integrali olarak tanımlanan Beta fonksiyonu, eğri altındaki alan taranmış — Beta fonksiyonu, $[0,1]$ aralığında $t^{a-1}(1-t)^{b-1}$ eğrisinin altındaki alana eşittir.

Bu araç nasıl kullanılır?

Birinci değer $a$'yı ve ikinci değer $b$'yi girin. Her ikisi de birimsiz, salt sayılardır; dolayısıyla bir birim belirtmenize gerek yoktur. Kaç anlamlı basamak gösterileceğini seçin (çift duyarlıklı bir sonucun çözebildiği yaklaşık 15 basamağa kadar) ve $B(a, b)$ değerini sonuç kutusundan okuyun. Fonksiyon simetrik olduğundan $a$ ile $b$'nin yerini değiştirmek tam olarak aynı sonucu verir.

Formülün açıklaması

İntegral tanımı, $\operatorname{Re}(a) > 0$ ve $\operatorname{Re}(b) > 0$ için $$B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt$$ şeklindedir. Hesaplama için bunun eşdeğeri olan kapalı biçimi kullanırız: $$B(a, b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$ Büyük argümanlarda taşmayı (overflow) önlemek için araç logaritma üzerinden çalışır: $$\ln B = \ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b)$$ ardından üs alınır ve doğru işaret uygulanır. Gama değerleri Lanczos yaklaşımından ($g = 7$) elde edilir; $0{,}5$'in altındaki argümanlar ise yansıma formülü $\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \pi/\sin(\pi x)$ ile işlenir.

Reklam

Beta fonksiyonunu üç gama fonksiyonu kutusunun oranı olarak gösteren şema — $B(a,b)$ gama fonksiyonlarından oluşur: $\Gamma(a)$ çarpı $\Gamma(b)$ bölü $\Gamma(a+b)$.

Çözümlü örnek

$a = 1{,}5$ ve $b = 0{,}2$ için: $\Gamma(1{,}5) = \sqrt{\pi}/2 \approx 0{,}886227$, $\Gamma(0{,}2) \approx 4{,}590844$ ve $\Gamma(1{,}7) \approx 0{,}908639$. Buradan $$B(1{,}5;\ 0{,}2) = \frac{0{,}886227 \times 4{,}590844}{0{,}908639} \approx 4{,}47748$$ olur. Hızlı bir doğrulama: $$B(2, 3) = \frac{\Gamma(2)\Gamma(3)}{\Gamma(5)} = \frac{1\cdot 2}{24} = \frac{1}{12} \approx 0{,}083333$$

Reklam

Sık sorulan sorular

$B(a, b)$ her zaman pozitif midir? $a > 0$ ve $b > 0$ olduğunda her zaman pozitif ve sonludur. Negatif, tam sayı olmayan argümanlarda işaret, ilgili gama değerlerinin işaretlerinin çarpımına göre belirlenir.

Pozitif olmayan tam sayılarda ne olur? $a$ veya $b$ değeri $0, -1, -2, \ldots$ ise sonuç ıraksar (tanımsızdır). Yalnızca $a+b$ pozitif olmayan bir tam sayıysa, paydadaki kutup baskın gelir ve $B(a, b) = 0$ olur.

Neden integral yerine gama oranı kullanılıyor? Çünkü kapalı bir biçimdir, daha hızlıdır ve log-gama sayesinde, doğrudan integralin zorlanacağı çok küçük ve çok büyük argümanlarda bile hassasiyetini korur.

Temel Terimler ve Semboller

Beta işlevi $B(a,b)$: Euler Beta işlevi, $a,b>0$ için $B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt$ integrali ile tanımlanan ve $B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$ gama oranı ile eşdeğer olan. Simetrik: $B(a,b)=B(b,a)$.
Gama işlevi $\Gamma(x)$: Faktöriyelin sürekli uzantısı, $x>0$ için $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt$ ve pozitif tam sayılar için $\Gamma(n)=(n-1)!$ ile sağlanan ve $\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)$ ilişkisini tatmin eden.
Parametreler $a$ ve $b$: Beta işlevinin iki reel parametresi. İntegral tanımı $a>0$ ve $b>0$ için yakınsar; gama-oran şekli $B$ işlevini gama çarpanlarının kutuplarının olmadığı diğer reel değerlere genişletir.
Log-gama $\ln\Gamma(x)$: Gama işlevinin doğal logaritması. $B$ işlevini $\exp[\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)]$ şeklinde hesaplamak, $\Gamma$ işlevinin kendisinin ürettiği çok büyük ara değerlerden kaçınır ve sonucu sayısal olarak kararlı tutar.
Lanczos yaklaşımı: Küçük bir sabit katsayı seti ile yüksek doğruluk elde eden $\Gamma(x)$ (ve $\ln\Gamma(x)$) için yaygın olarak kullanılan bir seri yaklaşım, genellikle Beta ve gama hesaplama araçlarının içinde kullanılır.
Yansıma formülü: $\Gamma(x)\,\Gamma(1-x)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}$ özdeşliği, doğrudan serinin uygulanmadığı negatif veya küçük parametreler için gama işlevini değerlendirmek için kullanılır.
Kutup / ıraksaklık: Gama işlevinin $x=0,-1,-2,\dots$ konumlarında kutupları vardır ve bu noktalar da ıraksar. Sonuç olarak $B(a,b)$ işlevi, $a$ veya $b$ sıfır olmayan negatif bir tam sayı olduğunda (paydada iptal edilmediği sürece) ıraksar, bu nedenle bu tür girdilerin sonlu bir değeri yoktur.
Beta dağılımı ile ilişki: Beta işlevi, Beta dağılımının normalleştirme sabitidir: olasılık yoğunluğu $[0,1]$ üzerinde $f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}$ şeklindedir. Aynı $a$ ve $b$ parametreleri Beta dağılımı ortalama ve varyansında görünür.

Hesaplamaya Girin

Formül

Sonuç