बीटा फलन B(a,b) कैलकुलेटर

विधि	log-gamma के ज़रिए गामा-अनुपात (Lanczos g=7)
सर्वसमिका	B(a,b) = Γ(a)Γ(b) / Γ(a+b)
सममिति	B(a,b) = B(b,a)

बीटा फलन क्या है?

बीटा फलन, जिसे "प्रथम प्रकार का यूलर समाकल" (Euler integral of the first kind) भी कहा जाता है, दो चरों वाला एक विशेष फलन है जिसे $B(a, b)$ के रूप में लिखा जाता है। यह प्रायिकता (बीटा बंटन यानी Beta distribution), सांख्यिकी, संचय-गणित (combinatorics) और निश्चित समाकलों के मूल्यांकन में बार-बार सामने आता है। यह कैलकुलेटर किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए $B(a, b)$ का संख्यात्मक मान देता है — ऋणात्मक चरों के लिए भी, जहाँ यह फलन अपने गामा-अनुपात विस्तार के ज़रिए परिभाषित रहता है।

बीटा फलन को 0 से 1 तक एक वक्र के निश्चित समाकलन के रूप में दर्शाया गया है, जिसमें वक्र के नीचे का क्षेत्र छायांकित है — बीटा फलन अंतराल [0,1] पर $t^{a-1}(1-t)^{b-1}$ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

पहला चर $a$ और दूसरा चर $b$ दर्ज करें। दोनों शुद्ध विमाहीन (dimensionless) संख्याएँ हैं, इसलिए किसी इकाई की ज़रूरत नहीं है। तय करें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाने हैं (डबल-परिशुद्धता परिणाम लगभग 15 अंकों तक सटीक रहता है) और मुख्य बॉक्स में $B(a, b)$ का मान देखें। चूँकि यह फलन सममित है, इसलिए $a$ और $b$ को आपस में बदलने पर भी ठीक वही उत्तर मिलता है।

सूत्र की व्याख्या

समाकल परिभाषा है $$B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt,$$ जो $\operatorname{Re}(a) > 0$ और $\operatorname{Re}(b) > 0$ के लिए मान्य है। गणना के लिए हम इसके समतुल्य बंद रूप $$B(a, b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$ का उपयोग करते हैं। बड़े चरों के साथ ओवरफ़्लो से बचने के लिए कैलकुलेटर लघुगणकों (logarithms) में काम करता है: $$\ln B = \ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b),$$ फिर इसका घातांक (exponent) लेकर सही चिह्न लगा देता है। गामा मान Lanczos सन्निकटन ($g = 7$) से आते हैं, और $0.5$ से छोटे चरों को परावर्तन सूत्र $\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \pi/\sin(\pi x)$ के ज़रिए संभाला जाता है।

बीटा फलन को तीन गामा फलन बक्सों के अनुपात के रूप में दिखाता आरेख — $B(a,b)$ गामा फलनों से बनता है: $\Gamma(a)$ गुणा $\Gamma(b)$ भाग $\Gamma(a+b)$।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लें $a = 1.5$ और $b = 0.2$: $\Gamma(1.5) = \sqrt{\pi}/2 \approx 0.886227$, $\Gamma(0.2) \approx 4.590844$ और $\Gamma(1.7) \approx 0.908639$। तब $$B(1.5, 0.2) = \frac{0.886227 \times 4.590844}{0.908639} \approx 4.47748.$$ एक साफ़-सुथरी जाँच: $$B(2, 3) = \frac{\Gamma(2)\Gamma(3)}{\Gamma(5)} = \frac{1\cdot 2}{24} = \frac{1}{12} \approx 0.083333.$$

मुख्य शर्तें और प्रतीक

बीटा फ़ंक्शन $B(a,b)$: यूलर बीटा फ़ंक्शन, जिसे समाकल $B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt$ द्वारा $a,b>0$ के लिए परिभाषित किया जाता है, और गामा अनुपात $B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$ द्वारा समान रूप से परिभाषित किया जाता है। यह सममित है: $B(a,b)=B(b,a)$।
गामा फ़ंक्शन $\Gamma(x)$: भाज्य का निरंतर विस्तार, $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt$ जो $x>0$ के लिए है, और सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $\Gamma(n)=(n-1)!$ को संतुष्ट करता है और $\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)$।
तर्क $a$ और $b$: बीटा फ़ंक्शन के दो वास्तविक पैरामीटर। समाकल परिभाषा $a>0$ और $b>0$ के लिए अभिसरित होती है; गामा-अनुपात रूप $B$ को अन्य वास्तविक मानों तक विस्तारित करता है सिवाय जहाँ गामा कारकों के ध्रुव हों।
लॉग-गामा $\ln\Gamma(x)$: गामा फ़ंक्शन का प्राकृतिक लघुगणक। $B$ की गणना $\exp[\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)]$ के रूप में करने से बहुत बड़े मध्यवर्ती मानों से बचा जाता है जो $\Gamma$ स्वयं उत्पन्न करता है, जिससे परिणाम संख्यात्मक रूप से स्थिर रहता है।
लैंज़ॉस सन्निकटन: $\Gamma(x)$ (और $\ln\Gamma(x)$) के लिए एक व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली श्रृंखला सन्निकटन जो गुणांकों का एक छोटा निश्चित समुच्चय के साथ उच्च सटीकता प्राप्त करती है, जो आमतौर पर बीटा और गामा कैलकुलेटर के अंदर उपयोग की जाती है।
प्रतिबिंब सूत्र: पहचान $\Gamma(x)\,\Gamma(1-x)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}$, जो नकारात्मक या छोटे तर्कों के लिए गामा फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग की जाती है जहाँ प्रत्यक्ष श्रृंखला लागू नहीं होती।
ध्रुव / विचलन: गामा फ़ंक्शन के ध्रुव $x=0,-1,-2,\dots$ पर होते हैं जहाँ यह विचलित होता है। परिणामस्वरूप $B(a,b)$ विचलित होता है जब $a$ या $b$ एक गैर-सकारात्मक पूर्णांक है (जब तक कि हर द्वारा रद्द न किया जाए), इसलिए ऐसे इनपुट का कोई सीमित मान नहीं है।
बीटा वितरण से संबंध: बीटा फ़ंक्शन बीटा वितरण का सामान्यकारी स्थिरांक है: इसकी संभाव्यता घनत्व $f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}$ पर $[0,1]$ है। वही $a$ और $b$ पैरामीटर बीटा वितरण माध्य और प्रसरण में दिखाई देते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या $B(a, b)$ हमेशा धनात्मक होता है? जब $a > 0$ और $b > 0$ हों, तो यह हमेशा धनात्मक और परिमित (finite) रहता है। ऋणात्मक अपूर्णांक (non-integer) चरों के लिए इसका चिह्न संबंधित गामा मानों के चिह्नों के गुणनफल पर निर्भर करता है।

अऋणात्मक पूर्णांकों पर क्या होता है? यदि $a$ या $b$ का मान $0, -1, -2, \ldots$ है, तो परिणाम अपसारित (diverge) हो जाता है यानी अपरिभाषित रहता है। यदि केवल $a+b$ एक अधनात्मक पूर्णांक है, तो हर (denominator) का ध्रुव (pole) हावी हो जाता है और $B(a, b) = 0$ हो जाता है।

समाकल की जगह गामा-अनुपात क्यों इस्तेमाल करें? यह एक बंद रूप है, तेज़ है, और log-gamma के ज़रिए यह बहुत छोटे और बहुत बड़े दोनों तरह के चरों के लिए सटीक बना रहता है — जहाँ सीधी समाकलन प्रक्रिया लड़खड़ा जाती है।