Бета-функция B(a,b): онлайн-калькулятор Эйлера

Метод	Отношение гамма-функций через log-gamma (Ланцош, g=7)
Тождество	B(a,b) = Γ(a)Γ(b) / Γ(a+b)
Симметрия	B(a,b) = B(b,a)

Что такое бета-функция?

Бета-функция, известная также как интеграл Эйлера первого рода, — это специальная функция двух аргументов, которую обозначают $B(a, b)$. Она встречается повсюду: в теории вероятностей (бета-распределение), статистике, комбинаторике и при вычислении определённых интегралов. Этот калькулятор возвращает числовое значение $B(a, b)$ для любых действительных a и b, включая отрицательные аргументы, на которые функция распространяется через выражение с отношением гамма-функций.

Бета-функция, определённая как определённый интеграл от 0 до 1 кривой, с закрашенной площадью под кривой — Бета-функция равна площади под $t^{a-1}(1-t)^{b-1}$ на отрезке [0,1].

Как пользоваться калькулятором

Введите первый аргумент a и второй аргумент b. Оба — безразмерные числа, поэтому единицы измерения указывать не нужно. Выберите, сколько значащих цифр показывать (до примерно 15 — столько способна различить вычисление с двойной точностью), и считайте значение $B(a, b)$ в верхнем поле результата. Поскольку функция симметрична, перестановка a и b даёт ровно тот же ответ.

Разбор формулы

Интегральное определение записывается как $$B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt$$ при $\operatorname{Re}(a) > 0$ и $\operatorname{Re}(b) > 0$. Для расчётов мы используем эквивалентную замкнутую формулу $$B(a, b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$ Чтобы избежать переполнения при больших аргументах, калькулятор работает с логарифмами: $$\ln B = \ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b),$$ после чего берётся экспонента и присваивается правильный знак. Значения гамма-функции получаются по аппроксимации Ланцоша ($g = 7$), а формула отражения $\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}$ обрабатывает аргументы меньше 0,5.

Схема, показывающая бета-функцию как отношение трёх блоков гамма-функций — $B(a,b)$ строится из гамма-функций: $\Gamma(a)$ умножить на $\Gamma(b)$ и разделить на $\Gamma(a+b)$.

Пример расчёта

Пусть $a = 1{,}5$ и $b = 0{,}2$: $\Gamma(1.5) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0{,}886227$, $\Gamma(0.2) \approx 4{,}590844$ и $\Gamma(1.7) \approx 0{,}908639$. Тогда $$B(1.5, 0.2) = \frac{0{,}886227 \times 4{,}590844}{0{,}908639} \approx 4{,}47748.$$ Наглядная проверка: $$B(2, 3) = \frac{\Gamma(2)\Gamma(3)}{\Gamma(5)} = \frac{1\cdot 2}{24} = \frac{1}{12} \approx 0{,}083333.$$

Частые вопросы

Всегда ли $B(a, b)$ положительна? При $a > 0$ и $b > 0$ она всегда положительна и конечна. Для отрицательных нецелых аргументов знак определяется произведением знаков соответствующих значений гамма-функции.

Что происходит в неположительных целых точках? Если a или b равно $0, -1, -2, \ldots$ — результат расходится (не определён). Если же неположительным целым является только сумма $a+b$, преобладает полюс знаменателя, и тогда $B(a, b) = 0$.

Почему берут отношение гамма-функций, а не интеграл? Это замкнутая формула: она быстрее, а благодаря log-gamma остаётся точной как для очень малых, так и для очень больших аргументов, где прямое интегрирование даёт сбои.

Ключевые термины и символы

Бета-функция $B(a,b)$: Бета-функция Эйлера, определяемая интегралом $B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt$ для $a,b>0$, и эквивалентно выражаемая через отношение гамма-функций $B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$. Она является симметричной: $B(a,b)=B(b,a)$.
Гамма-функция $\Gamma(x)$: Непрерывное расширение факториала, $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt$ для $x>0$, удовлетворяющее условию $\Gamma(n)=(n-1)!$ для положительных целых чисел и $\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)$.
Параметры $a$ и $b$: Два действительных параметра бета-функции. Интегральное определение сходится при $a>0$ и $b>0$; форма через отношение гамма-функций расширяет область определения $B$ на другие действительные значения, за исключением мест, где гамма-функции имеют полюсы.
Логарифм гамма-функции $\ln\Gamma(x)$: Натуральный логарифм гамма-функции. Вычисление $B$ как $\exp[\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)]$ избегает очень больших промежуточных значений, которые производит сама $\Gamma$, обеспечивая численную стабильность результата.
Аппроксимация Ланцоша: Широко используемое разложение в ряд для аппроксимации $\Gamma(x)$ (и $\ln\Gamma(x)$), обеспечивающее высокую точность с малым фиксированным набором коэффициентов, обычно используется во встроенных калькуляторах бета- и гамма-функций.
Формула отражения: Тождество $\Gamma(x)\,\Gamma(1-x)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}$, используемое для вычисления гамма-функции при отрицательных или малых аргументах, где прямые разложения в ряды неприменимы.
Полюс / расходимость: Гамма-функция имеет полюсы при $x=0,-1,-2,\dots$, где она расходится. Следовательно, $B(a,b)$ расходится, когда $a$ или $b$ является неположительным целым числом (если это не сокращается знаменателем), поэтому такие входные значения не имеют конечного значения.
Связь с бета-распределением: Бета-функция является нормирующей постоянной бета-распределения: её плотность вероятности равна $f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}$ на $[0,1]$. Те же параметры $a$ и $b$ появляются в среднем значении и дисперсии бета-распределения.