Что делает этот калькулятор
Калькулятор обратной неполной бета-функции находит верхний предел интегрирования x, при котором выбранная бета-функция достигает заданного значения y. Обращать можно как ненормированную неполную бета-функцию \(B_x(a,b)\), так и её регуляризованную (нормированную) форму \(I_x(a,b)\). Поскольку функция \(I_x(a,b)\) монотонно возрастает от 0 до 1, такое обращение в точности соответствует поиску квантиля (percent-point) бета-распределения, а также критических значений распределений Стьюдента (t), Фишера (F) и биномиального.
Как пользоваться
Выберите функцию, которую нужно обратить. Введите целевое значение y и два положительных параметра формы — a и b. В регуляризованном режиме значение y должно находиться в диапазоне от 0 до 1. В ненормированном режиме y должно лежать между 0 и полной бета-функцией \(B(a,b)\) — её значение калькулятор показывает в панели результата. Оба параметра, a и b, должны быть строго больше 0.
Формула и алгоритм
Полная бета-функция вычисляется по формуле $$B(a,b)=\exp\!\left(\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)\right).$$ Целевое значение переводится в регуляризованную вероятность p (\(p=y\) для \(I_x\) и \(p=y/B(a,b)\) для \(B_x\)). Прямая функция \(I_x(a,b)\) вычисляется через цепную дробь (модифицированная итерация Лентца) с использованием классического приёма с симметричным аргументом для устойчивости, а уравнение $$x = I^{-1}_{\text{y}}\!\left(\text{a},\ \text{b}\right) \quad\Longleftrightarrow\quad I_x\!\left(\text{a},\text{b}\right) = \text{y}$$ решается методом деления отрезка пополам на \([0,1]\) — этот метод гарантированно сходится.
Разбор примера
Возьмём регуляризованный режим с \(y = 0{,}3\), \(a = 1\), \(b = 3\). При \(a = 1\) справедливо тождество \(I_x(1,b)=1-(1-x)^{b}\), поэтому из \(1-(1-x)^{3}=0{,}3\) получаем \((1-x)^{3}=0{,}7\), откуда \(1-x = 0{,}887904\) и x ≈ 0,1120959. В ненормированном режиме при тех же y, a, b: \(B(1,3)=1/3\), значит \(p=0{,}3/(1/3)=0{,}9\), что даёт \((1-x)^{3}=0{,}1\) и x ≈ 0,5358407.
Частые вопросы
Чем отличаются \(B_x\) и \(I_x\)? Функция \(I_x\) — это \(B_x\), делённая на полную бета-функцию \(B(a,b)\), поэтому \(I_x\) всегда меняется от 0 до 1, тогда как \(B_x\) — от 0 до \(B(a,b)\).
Почему a и b должны быть положительными? Интеграл, задающий функцию, сходится только при \(a>0\) и \(b>0\); в противном случае гамма-функция и сам интеграл не определены.
Насколько точен результат? Поиск корня сходится практически до двойной точности (около 15 значащих цифр), чего с запасом хватает для работы со статистическими квантилями.
