Калькулятор обратной функции

Введите расчет

a (коэффициент при x в числителе)

b (свободный член числителя)

c (коэффициент при x в знаменателе)

d (свободный член знаменателя)

Вычислить f⁻¹ при x (необязательно)

Задаёт f(x) = (a·x + b) / (c·x + d). Для обычной линейной функции f(x)=a·x+b укажите c=0 и d=1.

Результатов

Обратная функция f⁻¹(x)

f⁻¹(x) = (1x − 3) / (-0x + 2)

получена заменой x и y местами с последующим выражением y

значение f⁻¹ в выбранной точке x	1
Коэффициент при x в числителе (d)	1
Свободный член числителя (−b)	-3
Коэффициент при x в знаменателе (−c)	-0
Свободный член знаменателя (a)	2
Определитель ad − bc (должен быть ≠ 0)	2

Что такое калькулятор обратной функции?

Обратная функция \(f^{-1}(x)\) «отменяет» действие функции \(f(x)\): если \(f(p) = q\), то \(f^{-1}(q) = p\). Этот калькулятор находит обратную для любой линейной функции \(f(x) = ax + b\) или, в более общем случае, для любой дробно-рациональной (мёбиусовой) функции \(f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}\). Он выдаёт готовую формулу \(f^{-1}(x)\) и позволяет вычислить значение обратной функции в любой выбранной вами точке \(x\).

Как пользоваться калькулятором

Введите четыре коэффициента \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\), которые задают вашу функцию \(f(x) = \dfrac{a\cdot x + b}{c\cdot x + d}\). Если у вас обычная прямая, например \(f(x) = 2x + 3\), задайте \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 0\) и \(d = 1\). По желанию впишите число в поле «Вычислить при \(x\)», чтобы получить числовое значение обратной функции в этой точке. На панели результатов показывается формула обратной функции в символьном виде, а также все её коэффициенты.

Разбор формулы

Чтобы обратить \(f\), запишем \(y = \dfrac{ax + b}{cx + d}\), поменяем местами \(x\) и \(y\), получив \(x = \dfrac{ay + b}{cy + d}\), и выразим \(y\). После перекрёстного умножения имеем \(x(cy + d) = ay + b\), откуда \(y(cx - a) = b - dx\), что после преобразований даёт $$f^{-1}(x) = \dfrac{\text{d}\,x - \text{b}}{-\text{c}\,x + \text{a}}$$ Обратная функция существует только при условии, что определитель \(ad - bc \neq 0\); если он равен нулю, функция постоянна либо не является взаимно однозначной и обратить её нельзя.

Реклама

Функция и обратная ей симметричны относительно прямой \(y = x\).

Пример с решением

Возьмём \(f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 4}\), то есть \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = 4\). Обратная функция равна $$f^{-1}(x) = \dfrac{4x - 3}{-x + 2}$$ Проверим при \(x = 1\): \(f^{-1}(1) = \dfrac{4 - 3}{-1 + 2} = \dfrac{1}{1} = 1\), и действительно \(f(1) = \dfrac{2 + 3}{1 + 4} = \dfrac{5}{5} = 1\). ✓

Чтобы найти обратную функцию, поменяйте местами \(x\) и \(y\), затем выразите \(y\).

Частые вопросы

Можно ли обратить квадратичные или тригонометрические функции? Нет — этот инструмент работает с линейными и дробно-рациональными функциями вида \(\dfrac{ax + b}{cx + d}\), то есть с тем семейством, которое обращается одним алгебраическим преобразованием.

Что показывает определитель? Значение \(ad - bc\) должно быть отличным от нуля, чтобы обратная функция существовала. Если оно равно нулю, функция \(f\) не взаимно однозначна и обратной не имеет.

Что делать, если при моём \(x\) знаменатель обратной функции обращается в ноль? Тогда \(f^{-1}\) не определена в этой точке (вертикальная асимптота) — выберите другое значение \(x\).