Máy Tính Hàm Ngược

Nhập phép tính

a (hệ số x ở tử)

b (hằng số ở tử)

c (hệ số x ở mẫu)

d (hằng số ở mẫu)

Tính f⁻¹ tại x (tùy chọn)

Mô hình hóa f(x) = (a·x + b) / (c·x + d). Với hàm bậc nhất đơn giản f(x)=a·x+b, hãy đặt c=0 và d=1.

Kết quả

Hàm ngược f⁻¹(x)

f⁻¹(x) = (1x − 3) / (-0x + 2)

thu được bằng cách hoán đổi x và y, rồi giải tìm y

giá trị của f⁻¹ tại x đã chọn	1
Hệ số x ở tử (d)	1
Hằng số ở tử (−b)	-3
Hệ số x ở mẫu (−c)	-0
Hằng số ở mẫu (a)	2
Định thức ad − bc (phải khác 0)	2

Máy Tính Hàm Ngược là gì?

Hàm ngược \(f^{-1}(x)\) "đảo ngược" lại những gì hàm \(f(x)\) thực hiện: nếu \(f(p) = q\) thì \(f^{-1}(q) = p\). Công cụ này tìm hàm ngược của bất kỳ hàm bậc nhất \(f(x) = ax + b\) nào, hay tổng quát hơn là hàm phân thức (Möbius) \(f(x) = (ax + b)/(cx + d)\). Máy tính trả về công thức gọn gàng cho \(f^{-1}(x)\) và còn có thể tính giá trị của hàm ngược đó tại bất kỳ \(x\) nào bạn chọn.

Cách sử dụng

Hãy nhập bốn hệ số \(a\), \(b\), \(c\) và \(d\) mô tả hàm \(f(x) = (a\cdot x + b) / (c\cdot x + d)\) của bạn. Nếu hàm của bạn chỉ là một đường thẳng đơn giản như \(f(x) = 2x + 3\), hãy đặt \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 0\) và \(d = 1\). Bạn cũng có thể nhập một giá trị vào ô "Tính tại x" để nhận kết quả số của hàm ngược tại điểm đó. Bảng kết quả hiển thị công thức hàm ngược cùng với từng hệ số của nó.

Giải thích công thức

Để tìm hàm ngược của \(f\), ta viết \(y = (ax + b)/(cx + d)\), rồi hoán đổi vai trò của \(x\) và \(y\) để được \(x = (ay + b)/(cy + d)\), sau đó giải tìm \(y\). Nhân chéo ta có \(x(cy + d) = ay + b\), suy ra \(y(cx - a) = b - dx\), và sau khi sắp xếp lại ta được $$f^{-1}(x) = \dfrac{\text{d}\,x - \text{b}}{-\text{c}\,x + \text{a}}$$ Hàm ngược chỉ tồn tại khi định thức \(ad - bc \ne 0\); nếu nó bằng 0 thì hàm là hằng số hoặc không đơn ánh và không thể tìm hàm ngược.

Quảng cáo

Một hàm số và hàm ngược của nó đối xứng qua đường thẳng \(y = x\).

Ví dụ minh họa

Lấy \(f(x) = (2x + 3)/(x + 4)\), tức là \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = 4\). Hàm ngược là \(f^{-1}(x) = (4x - 3)/(-x + 2)\). Kiểm tra tại \(x = 1\): $$f^{-1}(1) = \frac{4 - 3}{-1 + 2} = \frac{1}{1} = 1$$ và quả thật \(f(1) = (2 + 3)/(1 + 4) = 5/5 = 1\). ✓

Tìm hàm ngược bằng cách đổi chỗ \(x\) và \(y\), rồi giải tìm \(y\).

Câu hỏi thường gặp

Công cụ có tìm được hàm ngược của hàm bậc hai hay hàm lượng giác không? Không — công cụ này chỉ áp dụng cho hàm bậc nhất và hàm phân thức dạng \((ax + b)/(cx + d)\), tức là họ hàm có thể giải được chỉ bằng một bước biến đổi đại số duy nhất.

Định thức cho tôi biết điều gì? Giá trị \(ad - bc\) phải khác 0 thì hàm ngược mới tồn tại. Nếu nó bằng 0, hàm \(f\) không đơn ánh và không có hàm ngược.

Nếu mẫu số của hàm ngược bằng 0 tại x của tôi thì sao? Khi đó \(f^{-1}\) không xác định tại điểm đó (một tiệm cận đứng); hãy chọn một giá trị \(x\) khác.