Máy Tính Giải Hệ Phương Trình 3×3

Nhập phép tính

a₁ (x)

b₁ (y)

c₁ (z)

d₁ (=)

a₂ (x)

b₂ (y)

c₂ (z)

d₂ (=)

a₃ (x)

b₃ (y)

c₃ (z)

d₃ (=)

Kết quả

Nghiệm

x = 2, y = 3, z = -1

x	2
y	3
z	-1
det(A)	-1

Công cụ này làm được gì

Công cụ giúp bạn giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn x, y, z. Bạn chỉ cần nhập các hệ số của phương trình theo dạng chuẩn:

\(a_1x + b_1y + c_1z = d_1\)
\(a_2x + b_2y + c_2z = d_2\)
\(a_3x + b_3y + c_3z = d_3\)

Máy tính sẽ trả về nghiệm duy nhất của x, y và z, kèm theo định thức của ma trận hệ số \(\det(A)\). Công cụ chấp nhận mọi hệ số thực, bao gồm số âm, phân số và số thập phân.

Cách sử dụng

Mỗi hàng tương ứng với một phương trình. Bạn nhập hệ số đứng trước x (a), trước y (b), trước z (c), rồi đến hằng số ở vế phải (d). Trước khi nhập, hãy chuyển tất cả các ẩn về vế trái và hằng số về vế phải. Ví dụ, nếu phương trình viết dưới dạng \(5 = 2x - y\), bạn hãy viết lại thành \(2x - y + 0z = 5\).

Giải thích công thức

Lời giải dựa trên quy tắc Cramer. Đầu tiên ta tính định thức của ma trận hệ số A. Sau đó, với mỗi ẩn, ta thay cột tương ứng trong A bằng cột hằng số d rồi tính định thức mới đó. Lấy thương của hai định thức ta được giá trị của ẩn:

$$x = \dfrac{\det(A_x)}{\det(A)},\quad y = \dfrac{\det(A_y)}{\det(A)},\quad z = \dfrac{\det(A_z)}{\det(A)}$$

Nếu \(\det(A) = 0\), quy tắc Cramer không áp dụng được — hệ không có nghiệm duy nhất (hoặc vô nghiệm, hoặc vô số nghiệm), và máy tính sẽ cảnh báo trường hợp này.

Quảng cáo

Định thức 3×3 theo Sarrus: cộng các đường chéo xuống và trừ các đường chéo lên.

Quy tắc Cramer: mỗi ẩn bằng \(\det(A_i)\) chia \(\det(A)\), trong đó \(A_i\) thay một cột bằng các hằng số.

Ví dụ minh họa

Giải hệ \(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\).

Ta có \(\det(A) = -1\). Áp dụng quy tắc Cramer được \(\det(A_x) = -2\), \(\det(A_y) = -3\), \(\det(A_z) = 1\), suy ra \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\). Bạn có thể kiểm tra lại: \(2(2)+3-(-1)=8\) ✓.

Giải Thích Kết Quả Của Bạn

Mỗi phương trình trong một hệ 3×3 mô tả một mặt phẳng trong không gian ba chiều. Giải pháp là nơi cả ba mặt phẳng gặp nhau, và giá trị của định thức \(D=\det(A)\) cho bạn biết bạn đang ở trường hợp nào trong ba trường hợp.

\(D\neq0\): giải pháp duy nhất

Khi định thức hệ số khác không, ba mặt phẳng cắt nhau tại đúng một điểm. Quy tắc Cramer trả về một \((x,y,z)\) duy nhất, và bộ ba có thứ tự đó là tập hợp duy nhất các giá trị thỏa mãn cả ba phương trình cùng một lúc. Đây là một hệ tương thích, độc lập. Kết quả đầu ra \(x=D_x/D\), \(y=D_y/D\), \(z=D_z/D\) là chính xác (trong phạm vi làm tròn) và có thể được kiểm tra bằng cách thay thế trở lại các phương trình ban đầu.

\(D=0\): không có giải pháp duy nhất

Khi \(D=0\) ma trận là suy biến và quy tắc Cramer không thể chia. Hai trường hợp con tồn tại:

• Không tương thích — không có giải pháp. Các mặt phẳng không có điểm chung (ví dụ, hai hoặc nhiều mặt song song, hoặc chúng tạo thành một sắp xếp hình lăng trụ tam giác nơi không có điểm nào nằm trên cả ba). Hệ có không giải pháp.
• Phụ thuộc — vô số giải pháp. Các mặt phẳng chia sẻ một đường thẳng toàn bộ (hoặc trùng nhau). Ở đây các phương trình không độc lập, và có một họ vô hạn của các bộ ba \((x,y,z)\), thường được mô tả với một tham số tự do.

Định thức riêng lẻ không thể phân biệt hai trường hợp này; bạn phải kiểm tra các phương trình (ví dụ, thông qua rút gọn hàng) để xem liệu chúng có mâu thuẫn hay dư thừa.

Đọc kết quả x, y, z

Ba số được trả về là các tọa độ làm cho mọi phương trình đều đúng. Một giá trị có thể âm, bằng không hoặc phân số. Nếu máy tính báo cáo \(D=0\), hãy cẩn thận với câu trả lời và kiểm tra lại hệ thống thay vì tin tưởng vào kết quả chia.

Quảng cáo

Định Nghĩa & Thuật Ngữ

Ma trận hệ số \(A\)

Mảng 3×3 của các số nhân \(x, y, z\) ở phía bên trái của mỗi phương trình: các hàng là các phương trình, các cột tương ứng với \(x\), \(y\) và \(z\).

Vectơ hằng số \(d\)

Cột \((d_1, d_2, d_3)\) của các giá trị ở vế phải mà các phương trình bằng nhau.

Định thức \(\det(A)\) (cũng là \(D\))

Một đại lượng vô hướng duy nhất được tính toán từ một ma trận vuông đo lường xem ma trận có khả nghịch hay không. \(\det(A)\neq0\) có nghĩa là một giải pháp duy nhất tồn tại.

Quy tắc Cramer

Một phương pháp giải hệ tuyến tính vuông bằng cách viết mỗi biến dưới dạng tỷ số của các định thức: \(x=D_x/D\), \(y=D_y/D\), \(z=D_z/D\), trong đó \(D_x, D_y, D_z\) đến từ việc thay thế cột phù hợp bằng \(d\).

Quy tắc Sarrus

Một phím tắt cho định thức của ma trận 3×3: cộng ba đường chéo chạy từ trên-trái đến dưới-phải và trừ ba đường chéo chạy từ trên-phải đến dưới-trái.

Ma trận suy biến

Ma trận vuông có định thức bằng \(0\); nó không có ma trận nghịch đảo, vì vậy quy tắc Cramer không mang lại giải pháp duy nhất.

Giải pháp duy nhất

Chính xác một \((x,y,z)\) thỏa mãn hệ; xảy ra khi \(D\neq0\).

Hệ tương thích

Hệ có ít nhất một giải pháp (một hoặc vô số).

Hệ phụ thuộc

Hệ tương thích với vô số giải pháp vì các phương trình không độc lập hoàn toàn.

Hệ không tương thích

Hệ không có giải pháp nào; các phương trình của nó mâu thuẫn với nhau.

\(a, b, c, d\) cho mỗi hàng

Trong hàng \(i\), \(a_i\) là hệ số \(x\), \(b_i\) là hệ số \(y\), \(c_i\) là hệ số \(z\), và \(d_i\) là hằng số ở vế phải.

Câu hỏi thường gặp

Nếu det(A) bằng 0 thì sao? Ba mặt phẳng không cắt nhau tại một điểm chung, nên không tồn tại nghiệm duy nhất (x, y, z). Hệ khi đó hoặc vô nghiệm, hoặc phụ thuộc (vô số nghiệm).

Tôi có thể dùng số thập phân hay phân số không? Được — bạn nhập trực tiếp số thập phân (dùng 0.5 thay cho 1/2).

Quy tắc Cramer có chính xác không? Với hệ 3×3, quy tắc này cho kết quả chính xác và ổn định với các dữ liệu thông thường. Những hệ có giá trị rất lớn hoặc gần suy biến có thể xuất hiện sai số làm tròn nhỏ ở những chữ số thập phân cuối.