Công Cụ Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính n×n (Phân Tích LU)

Nhập phép tính

Số phương trình / số ẩn (n) Hệ vuông A có kích thước n×n, vectơ b có n phần tử. Cho phép từ 2 đến 10.

Ma trận hệ số A (nhập theo từng hàng) 2 1 -1 -3 -1 2 -2 1 2 Mỗi hàng một dòng, các số cách nhau bằng dấu cách hoặc dấu phẩy.

Vectơ hằng số b Danh sách gồm n phần tử, các số cách nhau bằng dấu cách hoặc dấu phẩy.

Độ chính xác hiển thị (số chữ số có nghĩa) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Công thức

Show calculation steps (1)

1. Determinant from LU Pivots

   

   After Gaussian elimination with partial pivoting, det(A) equals the product of the U diagonal pivots, with sign flipped once per row swap.

Kết quả

Vectơ nghiệm x

x1 = 2, x2 = 3, x3 = -1

Kích thước hệ (n)	3
Định thức của A	-1
Phương pháp	Phân tích LU với chọn trụ từng phần

Công cụ này làm gì

Công cụ này giải một hệ gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số, viết gọn dưới dạng \(\mathbf{A}\cdot\mathbf{x} = \mathbf{b}\), trong đó A là ma trận hệ số kích thước n×n, x là vectơ ẩn cần tìm, còn b là vectơ hằng số. Kết quả trả về là vectơ nghiệm duy nhất x cùng với định thức của A. Phương pháp hoàn toàn dựa trên đại số tuyến tính nên cho kết quả như nhau ở mọi nơi — không phụ thuộc vào quốc gia hay đơn vị nào; mỗi phần tử chỉ đơn giản là một số thực.

Hệ n phương trình tuyến tính viết gọn dưới dạng A·x = b.

$$\mathbf{A}\,\mathbf{x} = \mathbf{b}, \qquad \mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{U}$$

Cách sử dụng

Trước tiên hãy chọn \(n\) (số phương trình cũng chính là số ẩn). Nhập ma trận hệ số A theo từng dòng, mỗi dòng là một hàng, các số cách nhau bằng dấu cách hoặc dấu phẩy; sau đó nhập vectơ hằng số b dưới dạng danh sách có n phần tử. Chọn độ chính xác hiển thị rồi bấm giải. Công cụ chấp nhận cả số âm, số thập phân và các giá trị dạng phân số đã quy về thập phân. Nếu A có số hàng và số cột đều bằng n, đồng thời b có đúng n phần tử, bạn sẽ nhận được nghiệm; ngược lại, công cụ sẽ báo lỗi không khớp kích thước.

Giải thích phương pháp

Công cụ thực hiện khử Gauss kết hợp chọn trụ từng phần, về mặt toán học tương đương với phân tích LU dạng PA = LU. Với mỗi cột, thuật toán chọn phần tử trụ có giá trị tuyệt đối lớn nhất trong số các ứng viên để giữ cho phép tính ổn định về mặt số học, khử các phần tử nằm dưới trụ, rồi thế ngược từ ẩn cuối cùng trở lên. Nếu một phần tử trụ gần như bằng 0, định thức sẽ bằng 0, ma trận suy biến và hệ không có nghiệm duy nhất — lúc này công cụ sẽ báo lỗi thay vì chia cho 0.

$$\text{solve}\quad \left\{ \begin{aligned} \mathbf{L}\mathbf{y} &= \mathbf{b} \quad(\text{forward}) \\ \mathbf{U}\mathbf{x} &= \mathbf{y} \quad(\text{back substitution}) \end{aligned} \right.$$ $$\det(\mathbf{A}) = (-1)^{s}\prod_{k=1}^{n} u_{kk}$$

Phân tích LU tách A thành ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên U.

Ví dụ minh họa

Xét hệ: \(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\). Khi đó \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix}\) và \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 8 \\ -11 \\ -3 \end{bmatrix}\). Sau khi khử ta được \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\). Kiểm tra lại phương trình đầu: $$2(2) + 3 - (-1) = 4 + 3 + 1 = 8.$$ Chính xác.

Câu hỏi thường gặp

Nếu định thức bằng 0 thì sao? Khi đó ma trận suy biến, nghĩa là các phương trình phụ thuộc lẫn nhau hoặc mâu thuẫn với nhau; hệ không có nghiệm duy nhất nên công cụ sẽ báo ma trận suy biến.

Tại sao lại chọn trụ từng phần? Việc chọn phần tử trụ lớn nhất giúp tránh khuếch đại sai số làm tròn, nhờ đó cho kết quả chính xác ngay cả với những ma trận khó.

Nghiệm có thể không phải số nguyên không? Hoàn toàn có thể. Nghiệm được tính bằng số dấu phẩy động nên có thể là số thập phân; thiết lập độ chính xác hiển thị sẽ quyết định số chữ số có nghĩa được hiển thị.