N×N Doğrusal Denklem Sistemi Çözücü (LU Ayrıştırması)

Hesaplamaya Girin

Denklem / bilinmeyen sayısı (n) Kare sistemde A n×n boyutludur, b vektörünün uzunluğu n'dir. 2 ile 10 arası izinlidir.

Katsayı matrisi A (satır satır) 2 1 -1 -3 -1 2 -2 1 2 Her satır ayrı bir satıra, sayılar boşluk veya virgülle ayrılır.

Sabitler vektörü b n uzunluğunda liste; sayılar boşluk veya virgülle ayrılır.

Gösterim hassasiyeti (anlamlı basamak) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Formül

Show calculation steps (1)

1. Determinant from LU Pivots

   

   After Gaussian elimination with partial pivoting, det(A) equals the product of the U diagonal pivots, with sign flipped once per row swap.

Sonuç

Çözüm vektörü x

x1 = 2, x2 = 3, x3 = -1

Sistem boyutu (n)	3
A'nın determinantı	-1
Yöntem	Kısmi pivotlamalı LU ayrıştırması

Bu hesap makinesi ne işe yarar?

Bu araç, kısaca \(\mathbf{A}\,\mathbf{x} = \mathbf{b}\) biçiminde yazılan, n bilinmeyenli n doğrusal denklemden oluşan bir sistemi çözer. Burada A, n×n boyutlu katsayı matrisi; x, bilinmeyenler vektörü; b ise sabitler vektörüdür. Araç, tek çözüm vektörü x ile birlikte A’nın determinantını da verir. Yöntem tamamen doğrusal cebire dayanır ve her yerde aynı şekilde çalışır — herhangi bir ülke ya da birim bağımlılığı yoktur; girilen her değer yalnızca bir gerçek sayıdır.

n doğrusal denklemden oluşan bir sistemin kısaca A·x = b biçiminde yazılışı.

Nasıl kullanılır?

Önce n değerini (denklem ve bilinmeyen sayısı) belirleyin. Katsayı matrisi A’yı her satırı ayrı bir satıra gelecek şekilde, sayıları boşluk veya virgülle ayırarak yazın; ardından sabitler vektörü b’yi n uzunluğunda bir liste olarak girin. Bir gösterim hassasiyeti seçin ve çözün. Negatif sayılar, ondalıklar ve kesir görünümlü ondalıklar kabul edilir. A’nın satır ve sütun sayısı n’e, b’nin uzunluğu da bu değere eşitse çözümü alırsınız; aksi halde araç boyut uyuşmazlığı uyarısı verir.

Yöntemin açıklaması

Çözücü, kısmi pivotlamalı Gauss eliminasyonu uygular; bu, matematiksel olarak PA = LU biçimindeki LU ayrıştırmasına denktir. Sistem şöyle çözülür:

$$\begin{gathered} \mathbf{A}\,\mathbf{x} = \mathbf{b}, \qquad \mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{U} \\[1.5em] \text{solve}\quad \left\{ \begin{aligned} \mathbf{L}\mathbf{y} &= \mathbf{b} \quad(\text{forward}) \\ \mathbf{U}\mathbf{x} &= \mathbf{y} \quad(\text{back substitution}) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

Her sütun için sayısal kararlılığı korumak amacıyla mevcut en büyük mutlak değerli pivotu seçer, pivotun altındaki elemanları yok eder ve ardından son bilinmeyenden başlayarak yukarı doğru geri yerine koyma yapar. Determinant ise

$$\det(\mathbf{A}) = (-1)^{s}\prod_{k=1}^{n} u_{kk}$$

Bir pivot pratikte sıfırsa determinant sıfırdır, matris tekildir ve sistemin tek bir çözümü yoktur — bu durumda araç sıfıra bölmek yerine bunu işaret eder.

LU ayrışımı, A'yı bir alt üçgensel L ve bir üst üçgensel U matrisine ayırır.

Çözümlü örnek

Şu denklemleri ele alalım: \(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\). Buna göre \(\mathbf{A} = [[2,1,-1],[-3,-1,2],[-2,1,2]]\) ve \(\mathbf{b} = [8,-11,-3]\). Eliminasyon sonucunda \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\) bulunur. İlk denklemi kontrol edelim: \(2(2) + 3 - (-1) = 4 + 3 + 1 = 8\). Doğru.

Sık sorulan sorular

Determinant sıfırsa ne olur? Matris tekildir; yani denklemler birbirine bağımlı ya da tutarsızdır. Tek bir çözüm yoktur, bu nedenle hesap makinesi tekil matris uyarısı verir.

Neden kısmi pivotlama? En büyük pivotu seçmek yuvarlama hatasının büyümesini önler ve zorlu matrislerde bile doğru sonuçlar verir.

Çözüm tam sayı olmayabilir mi? Evet. Çözümler kayan noktalı sayılarla hesaplanır ve ondalıklı olabilir; gösterim hassasiyeti ayarı kaç anlamlı basamağın gösterileceğini belirler.