N×N रैखिक समीकरण निकाय सॉल्वर (LU अपघटन)

गणना दर्ज करें

समीकरणों / अज्ञातों की संख्या (n) वर्ग निकाय A का आकार n×n है, वेक्टर b की लंबाई n है। 2 से 10 तक मान्य।

गुणांक मैट्रिक्स A (पंक्ति दर पंक्ति) 2 1 -1 -3 -1 2 -2 1 2 प्रति लाइन एक पंक्ति, संख्याएँ स्पेस या कॉमा से अलग करें।

स्थिरांक वेक्टर b n लंबाई की सूची, संख्याएँ स्पेस या कॉमा से अलग करें।

प्रदर्शन परिशुद्धता (सार्थक अंक) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (1)

1. Determinant from LU Pivots

   

   After Gaussian elimination with partial pivoting, det(A) equals the product of the U diagonal pivots, with sign flipped once per row swap.

परिणाम

हल वेक्टर x

x1 = 2, x2 = 3, x3 = -1

निकाय का आकार (n)	3
A का सारणिक	-1
विधि	आंशिक पिवटिंग सहित LU अपघटन

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल n अज्ञातों वाले n रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करता है, जिसे संक्षेप में \(\mathbf{A}\cdot\mathbf{x} = \mathbf{b}\) के रूप में लिखा जाता है। यहाँ A एक n\(\times\)n गुणांक मैट्रिक्स है, x अज्ञात वेक्टर है, और b स्थिरांक वेक्टर है। यह अद्वितीय हल वेक्टर x के साथ-साथ A का सारणिक (determinant) भी देता है। यह विधि शुद्ध रैखिक बीजगणित पर आधारित है और हर जगह एक जैसी काम करती है — इसमें किसी देश या इकाई की कोई निर्भरता नहीं है; हर प्रविष्टि बस एक वास्तविक संख्या है।

n रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली, संक्षेप में A·x = b के रूप में लिखी गई।

इसका उपयोग कैसे करें

सबसे पहले n सेट करें (समीकरणों और अज्ञातों की संख्या)। गुणांक मैट्रिक्स A को प्रति पंक्ति एक ही लाइन में टाइप करें, जहाँ संख्याएँ स्पेस या कॉमा से अलग हों। फिर स्थिरांक वेक्टर b को n लंबाई की सूची के रूप में दर्ज करें। प्रदर्शन परिशुद्धता चुनें और हल करें। ऋणात्मक, दशमलव और भिन्न जैसी दिखने वाली दशमलव संख्याएँ — सभी स्वीकार्य हैं। यदि A में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या n के बराबर है और b की लंबाई भी उतनी ही है, तो आपको हल मिल जाएगा; अन्यथा टूल आयाम के बेमेल (dimension mismatch) की सूचना देगा।

विधि की व्याख्या

यह सॉल्वर आंशिक पिवटिंग (partial pivoting) के साथ गॉसियन उन्मूलन करता है, जो गणितीय रूप से LU अपघटन PA = LU के समतुल्य है। प्रत्येक स्तंभ के लिए यह सबसे बड़े परिमाण वाले उपलब्ध पिवट को चुनता है ताकि अंकगणित संख्यात्मक रूप से स्थिर रहे, पिवट के नीचे की प्रविष्टियों को समाप्त करता है, और फिर अंतिम अज्ञात से ऊपर की ओर प्रतिस्थापन (back-substitution) करता है। प्रक्रिया को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$\begin{gathered} \mathbf{A}\,\mathbf{x} = \mathbf{b}, \qquad \mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{U} \\[1.5em] \text{solve}\quad \left\{ \begin{aligned} \mathbf{L}\mathbf{y} &= \mathbf{b} \quad(\text{forward}) \\ \mathbf{U}\mathbf{x} &= \mathbf{y} \quad(\text{back substitution}) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

यदि कोई पिवट व्यावहारिक रूप से शून्य है, तो सारणिक शून्य होता है, मैट्रिक्स विचित्र (singular) कहलाता है, और निकाय का कोई अद्वितीय हल नहीं होता — ऐसे में टूल शून्य से भाग देने के बजाय इसकी सूचना दे देता है। सारणिक की गणना इस प्रकार होती है:

$$\det(\mathbf{A}) = (-1)^{s}\prod_{k=1}^{n} u_{kk}$$

LU अपघटन A को निचले-त्रिकोणीय L और ऊपरी-त्रिकोणीय U में विभाजित करता है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए \(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\)। तो \(\mathbf{A} = [[2,1,-1],[-3,-1,2],[-2,1,2]]\) और \(\mathbf{b} = [8,-11,-3]\) होगा। उन्मूलन करने पर \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\) मिलता है। पहले समीकरण की जाँच करें:

$$2(2) + 3 - (-1) = 4 + 3 + 1 = 8$$

सही है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर सारणिक शून्य हो तो क्या होगा? मैट्रिक्स विचित्र (singular) होती है, यानी समीकरण आपस में निर्भर या असंगत हैं; ऐसे में कोई एकल हल नहीं होता, इसलिए कैलकुलेटर विचित्र मैट्रिक्स की सूचना देता है।

आंशिक पिवटिंग क्यों? सबसे बड़े पिवट को चुनने से राउंडिंग त्रुटि बढ़ने से बचाव होता है, जिससे कठिन मैट्रिक्स के लिए भी सटीक परिणाम मिलते हैं।

क्या हल पूर्णांक के अलावा भी हो सकता है? हाँ। हल फ्लोटिंग-पॉइंट में गणना किए जाते हैं और दशमलव हो सकते हैं; प्रदर्शन परिशुद्धता की सेटिंग यह नियंत्रित करती है कि कितने सार्थक अंक (significant figures) दिखाए जाएँ।