Решение системы n линейных уравнений (LU-разложение)

Введите расчет

Число уравнений / неизвестных (n) Матрица A квадратная, размером n×n, длина вектора b равна n. Допустимо от 2 до 10.

Матрица коэффициентов A (построчно) 2 1 -1 -3 -1 2 -2 1 2 По одной строке в каждой строчке; числа разделяйте пробелами или запятыми.

Вектор свободных членов b Список длины n; числа разделяйте пробелами или запятыми.

Точность вывода (значащих цифр) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Determinant from LU Pivots

   

   After Gaussian elimination with partial pivoting, det(A) equals the product of the U diagonal pivots, with sign flipped once per row swap.

Результатов

Вектор решения x

x1 = 2, x2 = 3, x3 = -1

Размер системы (n)	3
Определитель матрицы A	-1
Метод	LU-разложение с выбором главного элемента

Что делает этот калькулятор

Инструмент решает систему из n линейных уравнений с n неизвестными, которую кратко записывают как \(\mathbf{A}\,\mathbf{x} = \mathbf{b}\), где A — матрица коэффициентов размера n×n, x — вектор неизвестных, а b — вектор свободных членов. На выходе вы получаете единственный вектор решения x и определитель матрицы A. Метод — это чистая линейная алгебра, и он работает одинаково в любой стране: здесь нет привязки к валютам или единицам измерения, каждый элемент — это просто вещественное число.

Система из n линейных уравнений, компактно записанная как A·x = b.

Как пользоваться

Задайте \(n\) — число уравнений и неизвестных. Введите матрицу коэффициентов A по одной строке в каждой строчке поля, разделяя числа пробелами или запятыми, а затем укажите вектор свободных членов b в виде списка длины n. Выберите точность вывода и нажмите «Решить». Допускаются отрицательные числа и десятичные дроби. Если у A одинаковое число строк и столбцов, равное n, а длина b совпадает с n, вы получите решение; в противном случае калькулятор сообщит о несовпадении размерностей.

Как устроен метод

Калькулятор выполняет метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (частичным выбором), что математически эквивалентно LU-разложению вида PA = LU. $$\begin{gathered} \mathbf{A}\,\mathbf{x} = \mathbf{b}, \qquad \mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{U} \\[1.5em] \text{solve}\quad \left\{ \begin{aligned} \mathbf{L}\mathbf{y} &= \mathbf{b} \quad(\text{forward}) \\ \mathbf{U}\mathbf{x} &= \mathbf{y} \quad(\text{back substitution}) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$ Для каждого столбца выбирается доступный ведущий элемент с наибольшим модулем — это сохраняет численную устойчивость вычислений; затем обнуляются элементы ниже ведущего, а после выполняется обратный ход — от последнего неизвестного к первому. Определитель вычисляется как $$\det(\mathbf{A}) = (-1)^{s}\prod_{k=1}^{n} u_{kk}.$$ Если ведущий элемент практически равен нулю, то определитель равен нулю, матрица вырождена, и система не имеет единственного решения — калькулятор сообщит об этом, а не станет делить на ноль.

LU-разложение раскладывает A на нижнетреугольную L и верхнетреугольную U.

Разбор примера

Возьмём систему \(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\). Тогда \(\mathbf{A} = [[2,1,-1],[-3,-1,2],[-2,1,2]]\), а \(\mathbf{b} = [8,-11,-3]\). После исключения получаем \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\). Проверим первое уравнение: $$2(2) + 3 - (-1) = 4 + 3 + 1 = 8.$$ Всё верно.

Частые вопросы

Что если определитель равен нулю? Матрица вырождена: это значит, что уравнения линейно зависимы или противоречивы и единственного решения не существует — калькулятор сообщает о вырожденной матрице.

Зачем нужен выбор главного элемента? Выбор наибольшего по модулю ведущего элемента не даёт ошибкам округления накапливаться, поэтому результат остаётся точным даже для «неудобных» матриц.

Может ли решение быть нецелым? Да. Решение вычисляется в формате с плавающей точкой и может содержать дробные значения; настройка точности вывода определяет, сколько значащих цифр отображается.