Калькулятор системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Введите расчет

Уравнение 1

x + y =

Уравнение 2

x + y =

Результатов

: 0

Решение

x = -1, y = 2

Determinant (D = a1·b2 − a2·b1)	-3
x	-1
y	2

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент решает систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными — x и y — вида \(\text{a}_1\cdot x + \text{b}_1\cdot y = \text{c}_1\) и \(\text{a}_2\cdot x + \text{b}_2\cdot y = \text{c}_2\). В основе лежит правило Крамера, которое для матрицы 2×2 математически эквивалентно LU-разложению с частичным выбором ведущего элемента. Это чистая математика, и работает она одинаково в любой стране.

Система 2×2 представляет две прямые, точка пересечения которых является решением (x, y).

Как пользоваться

Введите шесть действительных чисел, которые задают вашу систему: коэффициенты при x (a1, a2), коэффициенты при y (b1, b2) и свободные члены в правой части (c1, c2). Коэффициенты могут быть отрицательными, дробными или равными нулю. Нажмите «Вычислить», чтобы получить единственные значения x и y, а также определитель в качестве диагностики.

Реклама

Три возможных случая: одно решение (пересекаются), нет решений (параллельны) и бесконечно много (совпадают).

Разбор формулы

Сначала вычисляем определитель матрицы коэффициентов: \(D = \text{a}_1\cdot\text{b}_2 - \text{a}_2\cdot\text{b}_1\). Затем составляем ещё два определителя, заменяя соответствующий столбец на свободные члены: \(D_x = \text{c}_1\cdot\text{b}_2 - \text{c}_2\cdot\text{b}_1\) и \(D_y = \text{a}_1\cdot\text{c}_2 - \text{a}_2\cdot\text{c}_1\). Единственное решение находится по формулам

$$x = \frac{D_x}{D}, \qquad y = \frac{D_y}{D}$$

Если \(D = 0\), единственного решения нет: когда \(D_x\) и \(D_y\) тоже равны нулю, оба уравнения задают одну и ту же прямую (бесконечно много решений); в противном случае прямые параллельны и различны (решений нет).

Разбор примера

Решим систему \(1\cdot x + 2\cdot y = 3\) и \(4\cdot x + 5\cdot y = 6\). Тогда

$$D = (1\cdot 5) - (4\cdot 2) = -3, \qquad D_x = (3\cdot 5) - (6\cdot 2) = 3, \qquad D_y = (1\cdot 6) - (4\cdot 3) = -6$$

Отсюда \(x = 3 / {-3} = -1\) и \(y = -6 / {-3} = 2\). Проверка: \(1(-1) + 2(2) = 3\) и \(4(-1) + 5(2) = 6\). Всё сходится.

Частые вопросы

Что делать, если определитель равен нулю? Единственной пары (x, y) не существует. Калькулятор сообщит либо «решений нет» (параллельные прямые), либо «бесконечно много решений» (одна и та же прямая).

Может ли коэффициент быть нулём? Да. Нулевой коэффициент просто означает, что соответствующая переменная отсутствует в этом уравнении; решение всё равно находится, если определитель не равен нулю.

Принимаются ли дроби и отрицательные числа? Да, все шесть значений обрабатываются как обычные действительные числа.