Решение системы из 3 уравнений с 3 неизвестными

Введите расчет

a11

a12

a13

b1

a21

a22

a23

b2

a31

a32

a33

b3

Результатов

Единственное решение

x = 2, y = 3, z = -1

из приведённого ступенчатого вида

1

Приведённый ступенчатый вид [A | b]
1	0	0	2
0	1	0	3
0	0	1	-1

Используется метод Гаусса–Жордана с частичным выбором главного элемента. Когда у системы есть единственное решение, блок коэффициентов превращается в единичную матрицу, а в правом столбце оказываются значения (x, y, z).

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент решает систему из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными (x, y, z) методом Гаусса, доведённым до приведённого ступенчатого вида (метод Гаусса–Жордана). Он выдаёт единственное решение, если оно существует, либо сообщает, что система несовместна (решений нет) или имеет бесконечно много решений (линейно зависима).

Как пользоваться

Введите девять коэффициентов матрицы A и три свободных члена правой части b. Каждое уравнение имеет вид \(a_{i1}\cdot x + a_{i2}\cdot y + a_{i3}\cdot z = b_i\). Нажмите «Рассчитать» — калькулятор выдаст решение, а также итоговую приведённую матрицу, чтобы вы могли проследить весь ход исключения неизвестных.

Как работает метод

Алгоритм начинает с расширенной матрицы [A | b]. В каждом столбце он выбирает строку с наибольшим по модулю ведущим элементом (частичный выбор главного элемента — для численной устойчивости), нормирует эту строку, а затем обнуляет соответствующий элемент во всех остальных строках. После обработки всех трёх столбцов блок коэффициентов превращается в единичную матрицу (если решение единственно), а в последнем столбце оказываются значения (x, y, z). Сравнение ранга матрицы A с рангом расширенной матрицы [A | b] позволяет определить тип системы.

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_{3} \end{array}\right] \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \end{array}\right]$$

Каждое уравнение — это плоскость; единственное решение — точка пересечения всех трёх плоскостей.

Метод Гаусса-Жордана приводит расширенную матрицу к виду [I | x], сразу давая решение.

Разбор примера

Возьмём систему: \(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\). После исключения получаем \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\). Проверим: $$2\cdot 2 + 3 - (-1) = 8$$ — всё верно.

Частые вопросы

А если единственного решения нет? На панели результата появится надпись «Решений нет» или «Бесконечно много решений», и поле статуса отразит это.

Важен ли порядок уравнений? Нет. При частичном выборе главного элемента строки переставляются автоматически, поэтому ответ не зависит от порядка ввода.

Можно ли вводить дробные или отрицательные коэффициенты? Да, допускаются любые действительные числа.