미지수 3개 연립일차방정식 풀이기

계산 입력

a11

a12

a13

b1

a21

a22

a23

b2

a31

a32

a33

b3

결과

유일한 해

x = 2, y = 3, z = -1

기약 행 사다리꼴(RREF)에서 도출

1

기약 행 사다리꼴 [A | b]
1	0	0	2
0	1	0	3
0	0	1	-1

부분 피벗팅 가우스-조던 소거법을 사용합니다. 연립방정식이 유일한 해를 가질 때 계수 부분은 단위행렬이 되고, 오른쪽 열에 (x, y, z)가 담깁니다.

이 계산기의 기능

이 도구는 미지수 3개(x, y, z)로 이루어진 세 개의 일차방정식을 가우스 소거법으로 풀되, 기약 행 사다리꼴(RREF, Reduced Row Echelon Form)까지 끝까지 진행하는 가우스-조던 방식을 사용합니다. 유일한 해가 존재하면 그 해를 보여주고, 해가 없는 경우(모순)인지 무수히 많은 해를 갖는 경우(종속)인지도 함께 알려줍니다.

사용 방법

계수 행렬 A의 9개 계수와 우변 상수 b 3개를 입력하세요. 각 방정식은 \(a_{i1} x + a_{i2} y + a_{i3} z = b_i\) 형태입니다. 계산 버튼을 누르면 해와 함께 최종 기약 행렬을 보여주므로 소거 과정을 따라가며 확인할 수 있습니다.

계산 원리

알고리즘은 첨가행렬 \([A \mid b]\)에서 출발해, 각 열마다 절댓값이 가장 큰 피벗(주축)을 가진 행을 선택합니다(수치적 안정성을 위한 부분 피벗팅). 그런 다음 그 피벗 행을 정규화하고, 나머지 모든 행에서 해당 열의 원소를 제거합니다.

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_{3} \end{array}\right] \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \end{array}\right]$$

세 열을 모두 처리하면, 유일한 해가 존재할 때 계수 부분은 단위행렬이 되고 마지막 열에 \((x, y, z)\)가 담깁니다. A의 계수(rank)와 \([A \mid b]\)의 계수를 비교하여 연립방정식의 유형을 분류합니다.

각 방정식은 평면이며, 유일한 해는 세 평면이 만나는 한 점입니다.

가우스-조르당 소거법은 첨가행렬을 \([I \mid x]\)로 만들어 해를 바로 구합니다.

예제로 보기

\(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\)을 풀어 봅시다. 소거를 진행하면 \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\)이 나옵니다. 검산해 보면 $$2(2)+3-(-1)=8$$로 정확히 맞습니다.

자주 묻는 질문

유일한 해가 없으면 어떻게 되나요? 결과 화면에 "해가 없음" 또는 "무수히 많은 해"라고 표시되며, 상태 항목에도 그대로 반영됩니다.

방정식을 입력하는 순서가 결과에 영향을 주나요? 아니요. 부분 피벗팅이 내부적으로 행 순서를 재배치하므로, 입력 순서와 관계없이 결과는 동일합니다.

계수에 소수나 음수를 넣을 수 있나요? 네, 어떤 실수든 입력할 수 있습니다.