तीन अज्ञात राशियों वाले रैखिक समीकरण निकाय का हल

गणना दर्ज करें

a11

a12

a13

b1

a21

a22

a23

b2

a31

a32

a33

b3

परिणाम

अद्वितीय हल

x = 2, y = 3, z = -1

लघुकृत पंक्ति-सोपान रूप से

1

लघुकृत पंक्ति-सोपान रूप [A | b]
1	0	0	2
0	1	0	3
0	0	1	-1

आंशिक पिवटिंग वाली गॉस-जॉर्डन निष्कासन विधि का उपयोग किया जाता है। जब निकाय का अद्वितीय हल होता है, तो गुणांक भाग तत्समक मैट्रिक्स बन जाता है और दाहिना स्तंभ (x, y, z) के मान रखता है।

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल तीन अज्ञात राशियों (x, y, z) वाले तीन रैखिक समीकरणों के निकाय को गॉसीय निष्कासन (Gaussian elimination) से हल करता है, और इस प्रक्रिया को पूर्णतः लघुकृत पंक्ति-सोपान रूप (reduced row echelon form, यानी गॉस-जॉर्डन) तक ले जाता है। जब अद्वितीय हल मौजूद हो तो वह दिखाया जाता है; अन्यथा यह बताता है कि निकाय का कोई हल नहीं है (असंगत / inconsistent) या अनंत हल हैं (आश्रित / dependent)।

इसका उपयोग कैसे करें

मैट्रिक्स A के नौ गुणांक और दाहिनी ओर के तीन स्थिरांक b दर्ज करें। हर समीकरण का रूप इस प्रकार होता है: \(a_{i1} x + a_{i2} y + a_{i3} z = b_i\)। "Calculate" दबाने पर कैलकुलेटर आपको हल के साथ-साथ अंतिम लघुकृत मैट्रिक्स भी देता है, जिससे आप पूरी निष्कासन प्रक्रिया को कदम-दर-कदम समझ सकें।

विधि की व्याख्या

संवर्धित मैट्रिक्स [A | b] से शुरुआत करके, एल्गोरिथ्म हर स्तंभ में उस पंक्ति को चुनता है जिसका पिवट (pivot) निरपेक्ष मान में सबसे बड़ा हो — इसे आंशिक पिवटिंग (partial pivoting) कहते हैं, जो संख्यात्मक स्थिरता बनाए रखती है। फिर उस पिवट पंक्ति को सामान्यीकृत (normalize) किया जाता है, और बाकी हर पंक्ति में उस स्तंभ का प्रविष्टांक शून्य कर दिया जाता है। जब तीनों स्तंभों पर यह प्रक्रिया पूरी हो जाती है और अद्वितीय हल मौजूद होता है, तो गुणांक भाग तत्समक मैट्रिक्स (identity matrix) बन जाता है और अंतिम स्तंभ में (x, y, z) के मान आ जाते हैं। A की रैंक की तुलना [A | b] की रैंक से करके निकाय का वर्गीकरण किया जाता है।

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_{3} \end{array}\right] \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \end{array}\right]$$

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हर समीकरण एक समतल है; अद्वितीय हल वह बिंदु है जहाँ तीनों समतल मिलते हैं।

गॉस-जॉर्डन विलोपन संवर्धित आव्यूह को [I | x] में बदल देता है, जिससे हल सीधे मिल जाता है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए: \(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\)। निष्कासन करने पर हल मिलता है \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\)। आप जाँच सकते हैं: $$2(2)+3-(-1)=8$$ — सही है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर अद्वितीय हल न हो तो क्या होगा? परिणाम पैनल में "कोई हल नहीं" या "अनंत हल" दिखेगा, और स्थिति वाला फ़ील्ड भी उसी के अनुसार बदल जाएगा।

क्या समीकरणों का क्रम मायने रखता है? नहीं। आंशिक पिवटिंग आंतरिक रूप से पंक्तियों को पुनः व्यवस्थित कर देती है, इसलिए आप समीकरण किसी भी क्रम में डालें, उत्तर वही रहेगा।

क्या गुणांक दशमलव या ऋणात्मक हो सकते हैं? हाँ, कोई भी वास्तविक संख्या स्वीकार्य है।