Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, üç bilinmeyenli (x, y, z) üç doğrusal denklemden oluşan bir sistemi, Gauss eliminasyonunu indirgenmiş satır eşelon biçimine kadar uygulayarak (Gauss-Jordan yöntemi) çözer. Tek bir çözüm varsa onu verir; sistemin çözümü yoksa (tutarsız) veya sonsuz çözümü varsa (bağımlı) bunu açıkça belirtir.
Nasıl kullanılır?
A matrisinin dokuz katsayısını ve sağ taraftaki üç sabiti (b) girin. Her denklem \(a_{i1} x + a_{i2} y + a_{i3} z = b_i\) biçimindedir. Hesapla düğmesine bastığınızda hesaplayıcı, çözümle birlikte eliminasyon adımlarını takip edebilmeniz için son indirgenmiş matrisi de verir.
Yöntemin açıklaması
Algoritma, [A | b] genişletilmiş matrisinden başlar; her sütunda mutlak değeri en büyük pivotu içeren satırı seçer (sayısal kararlılık için kısmi pivotlama), o pivot satırını normalleştirir ve ardından diğer tüm satırlardaki ilgili elemanı sıfırlar. Üç sütun da işlendikten sonra, tek çözüm varsa katsayı bloğu birim matrise dönüşür ve son sütun (x, y, z) değerlerini tutar. A matrisinin rankı ile [A | b] matrisinin rankı karşılaştırılarak sistemin türü belirlenir.
$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_{3} \end{array}\right] \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \end{array}\right]$$
Çözümlü örnek
\(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\) sistemini ele alalım. Eliminasyon sonucunda \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\) bulunur. Doğrulayalım: $$2(2)+3-(-1)=8$$ doğru.
Sık sorulan sorular
Tek çözüm yoksa ne olur? Sonuç panelinde "Çözüm Yok" veya "Sonsuz Çözüm" yazar ve durum alanı buna göre güncellenir.
Denklemlerin sırası önemli mi? Hayır. Kısmi pivotlama satırları içeride yeniden sıraladığı için, giriş sırası ne olursa olsun sonuç aynıdır.
Katsayılar ondalıklı veya negatif olabilir mi? Evet, herhangi bir gerçek sayı kullanılabilir.
