İki Bilinmeyenli Doğrusal Denklem Sistemi Hesaplama

Hesaplamaya Girin

1. Denklem

x + y =

2. Denklem

x + y =

Sonuç

: 0

Çözüm

x = -1, y = 2

Determinant (D = a1·b2 − a2·b1)	-3
x	-1
y	2

Bu hesaplayıcı ne işe yarar?

Bu araç, x ve y olmak üzere iki bilinmeyen içeren iki doğrusal denklemden oluşan bir sistemi çözer. Denklemler \(a_1\cdot x + b_1\cdot y = c_1\) ve \(a_2\cdot x + b_2\cdot y = c_2\) biçimindedir. Araç, 2×2 boyutundaki bir sistem için kısmi pivotlu LU ayrıştırmasıyla matematiksel olarak özdeş olan Cramer kuralını kullanır. Bu tamamen matematiksel bir işlemdir ve her ülkede aynı şekilde çalışır.

2x2 doğrusal sistem, kesişim noktası çözüm (x, y) olan iki doğruyu temsil eder.

Nasıl kullanılır?

İki denkleminizi tanımlayan altı gerçek sayıyı girin: x'in katsayıları (a1, a2), y'nin katsayıları (b1, b2) ve eşitliğin sağ tarafındaki sabitler (c1, c2). Katsayılar negatif, ondalıklı veya sıfır olabilir. Hesapla düğmesine tıkladığınızda x ve y'nin benzersiz değerlerini, ayrıca tanılama amacıyla determinantı görürsünüz.

Reklam

Üç olası durum: tek çözüm (kesişen), çözüm yok (paralel) ve sonsuz çözüm (çakışık).

Formülün açıklaması

Önce katsayı matrisinin determinantını hesaplayın:

$$D = a_1\cdot b_2 - a_2\cdot b_1$$

Ardından bir sütunu sabitlerle değiştirerek iki determinant daha oluşturun:

$$D_x = c_1\cdot b_2 - c_2\cdot b_1, \qquad D_y = a_1\cdot c_2 - a_2\cdot c_1$$

Benzersiz çözüm

$$x = \frac{D_x}{D}, \qquad y = \frac{D_y}{D}$$

olur. Eğer \(D = 0\) ise sistemin tek bir çözümü yoktur: \(D_x\) ve \(D_y\) de sıfırsa denklemler aynı doğruyu ifade eder (sonsuz sayıda çözüm); aksi halde doğrular paralel ve farklıdır (çözüm yok).

Çözümlü örnek

\(1\cdot x + 2\cdot y = 3\) ve \(4\cdot x + 5\cdot y = 6\) denklemlerini çözelim. Bu durumda

$$D = (1\cdot 5) - (4\cdot 2) = -3$$$$D_x = (3\cdot 5) - (6\cdot 2) = 3$$$$D_y = (1\cdot 6) - (4\cdot 3) = -6$$

olur. Buradan \(x = \frac{3}{-3} = -1\) ve \(y = \frac{-6}{-3} = 2\) bulunur. Kontrol edelim: \(1(-1) + 2(2) = 3\) ve \(4(-1) + 5(2) = 6\). Doğru.

Sıkça sorulan sorular

Determinant sıfır olursa ne olur? Tek bir (x, y) çözümü yoktur. Hesaplayıcı bu durumda ya "çözüm yok" (paralel doğrular) ya da "sonsuz sayıda çözüm" (aynı doğru) sonucunu verir.

Bir katsayı sıfır olabilir mi? Evet. Sıfır katsayı, o değişkenin ilgili denklemde bulunmadığı anlamına gelir; determinant sıfırdan farklı olduğu sürece çözücü yine de çalışır.

Ondalıklı ve negatif sayılar kabul ediliyor mu? Evet, altı girişin tamamı sıradan gerçek sayılar olarak işlenir.