Küresel kapak nedir?
Küresel kapak, bir küreyi düz bir düzlemle kestiğinizde ortaya çıkan iki parçadan birini elinizde tuttuğunuzda oluşan katı cisimdir. Başka bir deyişle, bir daire diliminin (bir kiriş ile yayı arasında kalan "yay biçimli" bölge) bu kirişi dik açıyla ortadan kesen çapı etrafında döndürülmesiyle elde edilen dönel katıdır. Bu hesaplayıcı iki ölçü üzerinden çalışır: taban yarıçapı a (kirişin yarısı, yani düz dairesel yüzün yarıçapı) ve kapak yüksekliği h (sajita; taban düzleminden kapağın tepe noktasına kadar olan mesafe). Tamamen geometriye dayanır ve birbiriyle tutarlı her uzunluk biriminde çalışır.
Nasıl kullanılır?
Taban yarıçapı a ile yükseklik h değerlerini aynı uzunluk biriminde girin (ikisi de cm, ikisi de inç vb.). Hesaplayıcı; taban alanı B, toplam yüzey alanı A, hacim V ve ana küre yarıçapı r değerlerini verir. Alanlar birim² cinsinden, hacim ise birim³ cinsinden hesaplanır.
Formüller açıklamasıyla
Ana küre yarıçapı, kirişin geometrisinden elde edilir: $$r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h}$$ Kapağın hacmi $$V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot h\cdot\left(3a^{2} + h^{2}\right)$$ ile bulunur. Yüzeyin eğri (küresel) kısmı \(2\pi r h\), düz taban diski ise \(\pi a^{2}\) olur; burada verilen toplam yüzey, bu ikisinin toplamıdır: $$A = \pi a^{2} + 2\pi r h$$ \(h = r\) olduğunda kapak bir yarım küredir; \(h = 2r\) olduğunda ise tüm küreye dönüşür.
Çözümlü örnek
\(a = 3\) ve \(h = 2\) alalım. O hâlde $$r = \frac{3^{2} + 2^{2}}{2\cdot 2} = \frac{13}{4} = 3{,}25$$ olur. Taban alanı $$B = \pi\cdot 3^{2} = 9\pi \approx 28{,}27433$$ Eğri yüzey $$2\pi\cdot 3{,}25\cdot 2 = 13\pi \approx 40{,}8407$$ dolayısıyla toplam yüzey $$A = 9\pi + 13\pi = 22\pi \approx 69{,}11504$$ Hacim $$V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot 2\cdot\left(27 + 4\right) = \frac{31}{3}\pi \approx 32{,}46724$$
Sıkça sorulan sorular
Yüzey alanına düz taban dâhil mi? Evet. "Toplam yüzey alanı A", düz dairesel tabanı (\(\pi a^{2}\)) eğri küresel yüzeye (\(2\pi r h\)) ekler. Yalnızca eğri yüzeye ait değer ayrıca gösterilir.
Hangi birimi kullanmalıyım? a ile h aynı birimi paylaştığı sürece herhangi bir uzunluk birimini kullanabilirsiniz. Bu durumda alanlar o birimin karesi, hacim ise küpü cinsinden çıkar.
Yükseklik neden sıfırdan büyük olmalı? Sıfır yükseklik, \(r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h}\) formülündeki paydayı sıfırlar ve hacmi olmayan, dejenere (bozuk) bir kapağı tanımlar.
