Chỏm cầu là gì?
Chỏm cầu là khối hình thu được khi bạn dùng một mặt phẳng cắt ngang một hình cầu rồi giữ lại một trong hai phần. Nói cách khác, đó chính là khối tròn xoay được tạo ra khi quay một hình viên phân (phần "hình cánh cung" nằm giữa một dây cung và cung tròn của nó) quanh đường kính vuông góc và chia đôi dây cung đó. Công cụ này tính toán dựa trên hai số đo: bán kính đáy a (một nửa dây cung, tức bán kính của mặt tròn phẳng) và chiều cao chỏm h (đường trung trực hay sagitta, đo từ mặt phẳng đáy đến đỉnh của chỏm). Đây hoàn toàn là bài toán hình học và áp dụng được với bất kỳ đơn vị độ dài nào, miễn là nhất quán.
Cách sử dụng
Nhập bán kính đáy a và chiều cao h theo cùng một đơn vị độ dài (cùng là cm, cùng là inch, v.v.). Công cụ sẽ trả về diện tích đáy B, tổng diện tích bề mặt A, thể tích V và bán kính r của hình cầu gốc. Diện tích được tính theo đơn vị² và thể tích theo đơn vị³.
Giải thích các công thức
Bán kính hình cầu gốc được suy ra từ hình học của dây cung: $$r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h}.$$ Thể tích chỏm cầu là $$V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot h\cdot\left(3a^{2} + h^{2}\right).$$ Phần mặt cong (mặt cầu) có diện tích \(2\pi rh\), còn đáy phẳng hình tròn là \(\pi a^{2}\); tổng diện tích bề mặt được nêu ở đây là tổng của hai phần này, $$A = \pi a^{2} + 2\pi rh.$$ Khi \(h = r\) thì chỏm cầu trở thành nửa hình cầu; khi \(h = 2r\) thì nó là toàn bộ hình cầu.
Ví dụ minh họa
Lấy \(a = 3\) và \(h = 2\). Khi đó $$r = \frac{3^{2} + 2^{2}}{2\cdot 2} = \frac{13}{4} = 3{,}25.$$ Diện tích đáy $$B = \pi\cdot 3^{2} = 9\pi \approx 28{,}27433.$$ Diện tích mặt cong $$= 2\pi\cdot 3{,}25\cdot 2 = 13\pi \approx 40{,}8407,$$ do đó tổng diện tích bề mặt $$A = 9\pi + 13\pi = 22\pi \approx 69{,}11504.$$ Thể tích $$V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot 2\cdot\left(27 + 4\right) = \frac{31}{3}\pi \approx 32{,}46724.$$
Câu hỏi thường gặp
Diện tích bề mặt có bao gồm cả mặt đáy phẳng không? Có. "Tổng diện tích bề mặt A" cộng phần đáy tròn phẳng (\(\pi a^{2}\)) với phần mặt cầu cong (\(2\pi rh\)). Giá trị riêng của mặt cong được hiển thị tách biệt.
Tôi nên dùng đơn vị nào? Bất kỳ đơn vị độ dài nào, miễn là a và h dùng chung một đơn vị. Khi đó diện tích sẽ tính theo đơn vị bình phương và thể tích theo đơn vị lập phương.
Tại sao chiều cao phải lớn hơn 0? Nếu chiều cao bằng 0, mẫu số trong công thức \(r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h}\) sẽ bằng 0, đồng thời mô tả một chỏm cầu suy biến không có thể tích.
