Qu'est-ce qu'une calotte sphérique ?
Une calotte sphérique est le solide obtenu lorsqu'on coupe une sphère par un plan et que l'on conserve l'une des deux portions. De façon équivalente, c'est le solide de révolution engendré par la rotation d'un segment circulaire (la « forme d'arc » comprise entre une corde et son arc) autour du diamètre qui coupe la corde perpendiculairement en son milieu. Ce calculateur s'appuie sur deux mesures : le rayon de base a (la moitié de la corde, soit le rayon de la face circulaire plane) et la hauteur de la calotte h (la flèche, mesurée du plan de base jusqu'au sommet de la calotte). Il s'agit de géométrie pure, qui fonctionne avec n'importe quelle unité de longueur, à condition de rester cohérent.
Comment l'utiliser
Saisissez le rayon de base a et la hauteur h dans la même unité de longueur (les deux en cm, les deux en pouces, etc.). Le calculateur renvoie l'aire de la base B, la surface totale A, le volume V et le rayon r de la sphère d'origine. Les aires sont exprimées en unité² et le volume en unité³.
Les formules expliquées
Le rayon de la sphère d'origine se déduit de la géométrie de la corde : $$r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h}.$$ Le volume de la calotte vaut $$V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot h\cdot(3a^{2} + h^{2}).$$ La partie courbe (sphérique) de la surface est égale à \(2\pi r h\), tandis que le disque de base plat vaut \(\pi a^{2}\) ; la surface totale indiquée ici est leur somme, $$A = \pi a^{2} + 2\pi r h.$$ Lorsque \(h = r\), la calotte est un hémisphère ; lorsque \(h = 2r\), on retrouve la sphère entière.
Exemple résolu
Prenons \(a = 3\) et \(h = 2\). On obtient $$r = \frac{3^{2} + 2^{2}}{2\cdot 2} = \frac{13}{4} = 3{,}25.$$ Aire de la base $$B = \pi\cdot 3^{2} = 9\pi \approx 28{,}27433.$$ Surface courbe $$2\pi\cdot 3{,}25\cdot 2 = 13\pi \approx 40{,}8407,$$ d'où la surface totale $$A = 9\pi + 13\pi = 22\pi \approx 69{,}11504.$$ Volume $$V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot 2\cdot(27 + 4) = \frac{31}{3}\pi \approx 32{,}46724.$$
FAQ
La surface comprend-elle la base plate ? Oui. La « surface totale A » ajoute la base circulaire plate (\(\pi a^{2}\)) à la surface sphérique courbe (\(2\pi r h\)). La valeur de la seule surface courbe est affichée séparément.
Quelle unité dois-je utiliser ? N'importe quelle unité de longueur, du moment que a et h partagent la même. Les aires sont alors exprimées dans cette unité au carré et le volume dans cette unité au cube.
Pourquoi la hauteur doit-elle être supérieure à zéro ? Une hauteur nulle annulerait le diviseur dans \(r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h}\) et correspondrait à une calotte dégénérée, sans volume.
