À quoi sert ce calculateur
Cet outil résout numériquement une équation différentielle ordinaire du premier ordre de la forme \(y' = F(x, y)\), avec la condition initiale \(y(x_0) = y_0\), grâce à la classique méthode d'Euler explicite (ou progressive). Il progresse de \(x_0\) jusqu'à \(x_n\) en \(n\) pas réguliers et fournit le pas \(h\), un tableau complet des approximations \((x, y)\), ainsi que la valeur approchée au point final \(y(x_n)\).
Comment l'utiliser
Saisissez le second membre \(F(x, y)\) sous forme d'expression mathématique faisant intervenir les variables \(x\) et \(y\) (opérateurs + - * / ^, parenthèses et fonctions telles que sin, cos, exp, log/ln, sqrt, abs, ainsi que les constantes pi et e). Indiquez le point de départ \(x_0\), la valeur initiale \(y_0\), le point final \(x_n\), puis choisissez le nombre de subdivisions \(n\). Plus \(n\) est grand, plus le pas est petit et plus le résultat est généralement précis.
La formule expliquée
Le pas vaut $$h = \frac{x_n - x_0}{n},$$ et les points de la grille sont \(x_k = x_0 + k \cdot h\). En partant de \(y_0\), chaque nouvelle valeur se calcule par $$y_{k+1} = y_k + h \cdot F(x_k, y_k) :$$ on évalue la pente \(F\) au point courant et on l'utilise pour avancer en ligne droite sur une largeur \(h\). La méthode est d'ordre 1, si bien que l'erreur globale se comporte en \(O(h)\).
Exemple résolu
Pour \(y' = 1 - y^2\) avec \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(x_n = 1\) et \(n = 5\), le pas vaut \(h = 0{,}2\). L'itération donne \(y_1 = 0{,}2\), \(y_2 = 0{,}392\), \(y_3 = 0{,}5612672\), \(y_4 \approx 0{,}6982668\), \(y_5 \approx 0{,}8007513\). L'estimation d'Euler en \(x = 1\) vaut donc environ \(0{,}8008\). La solution exacte est \(\tanh(x)\), avec \(\tanh(1) \approx 0{,}7616\) ; en augmentant \(n\), la valeur d'Euler se rapproche de cette valeur exacte.
FAQ
Pourquoi mon résultat diffère-t-il de la solution exacte ? La méthode d'Euler n'est précise qu'à l'ordre 1. L'erreur diminue à peu près proportionnellement à \(h\) : choisir un \(n\) plus grand (un pas plus petit) améliore donc la précision.
\(x_n\) peut-il être inférieur à \(x_0\) ? Oui. Le pas \(h\) devient alors négatif et la même récurrence intègre dans le sens inverse.
Quelles fonctions sont prises en charge ? sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt et abs, ainsi que les constantes pi et e.
