Bu araç ne işe yarar?
Bu araç, y' = F(x, y) biçimindeki ve y(x0) = y0 başlangıç koşulunu sağlayan birinci mertebeden bir adi diferansiyel denklemi (ADD), klasik ileri (açık) Euler yöntemiyle sayısal olarak çözer. x0 noktasından xn noktasına n eşit adımda ilerler; sonuçta adım boyu h değerini, (x, y) yaklaşık değerlerinden oluşan eksiksiz bir tabloyu ve uç noktadaki yaklaşık y(xn) değerini verir.
Nasıl kullanılır?
Sağ taraftaki F(x, y) ifadesini, x ve y değişkenleri cinsinden bir matematik ifadesi olarak girin (işlemler + - * / ^, parantezler ve sin, cos, exp, log/ln, sqrt, abs gibi fonksiyonların yanı sıra pi ve e sabitleri kullanılabilir). Başlangıç noktası x0'ı, başlangıç değeri y0'ı, uç nokta xn'i belirleyin ve alt bölme sayısı n'i seçin. \(n\) değerini büyüttükçe adım küçülür ve genellikle daha doğru bir sonuç elde edersiniz.
Formülün açıklaması
Adım boyu \( h = (x_n - x_0) / n \) olarak hesaplanır ve ızgara noktaları \( x_k = x_0 + k \cdot h \) şeklindedir. y0'dan başlayarak her yeni değer $$ y_{k+1} = y_k + h \cdot F(x_k, y_k) $$ ile bulunur: F eğimi mevcut noktada örneklenir ve h genişliğinde doğrusal bir adım atmak için kullanılır. Yöntem birinci mertebeden doğruluğa sahiptir; bu nedenle global hata \( O(h) \) ile orantılı olarak değişir.
Örnek çözüm
\( y' = 1 - y^2 \), \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 0 \), \( x_n = 1 \) ve \( n = 5 \) için adım boyu \( h = 0{,}2 \) olur. İterasyon şu değerleri verir: \( y_1 = 0{,}2 \), \( y_2 = 0{,}392 \), \( y_3 = 0{,}5612672 \), \( y_4 \approx 0{,}6982668 \), \( y_5 \approx 0{,}8007513 \). Yani \( x = 1 \) noktasındaki Euler tahmini yaklaşık \( 0{,}8008 \)'dir. Kesin çözüm \( \tanh(x) \) olduğundan \( \tanh(1) \approx 0{,}7616 \) olur; n'i artırdıkça Euler değeri bu gerçek değere yaklaşır.
Sıkça sorulan sorular
Sonucum neden kesin çözümden farklı çıkıyor? Euler yöntemi yalnızca birinci mertebeden doğrudur. Hata, kabaca \( h \) ile orantılı olarak küçülür; bu nedenle daha büyük bir n (daha küçük adım) seçmek doğruluğu artırır.
xn, x0'dan küçük olabilir mi? Evet. Bu durumda adım boyu \( h \) negatif olur ve aynı yineleme bağıntısı geriye doğru integrasyon yapar.
Hangi fonksiyonlar destekleniyor? sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt ve abs fonksiyonları ile pi ve e sabitleri desteklenir.
