ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحلّ هذه الأداة عدديًا معادلة تفاضلية اعتيادية من الرتبة الأولى على الصورة \(y' = F(x, y)\) مع الشرط الابتدائي \(y(x_0) = y_0\)، باستخدام طريقة أويلر الأمامية (الصريحة) الكلاسيكية. تتقدّم الأداة من \(x_0\) إلى \(x_n\) عبر \(n\) خطوات متساوية، وتُعيد طول الخطوة \(h\)، وجدولًا كاملًا للقيم التقريبية \((x, y)\)، والقيمة التقريبية عند النهاية \(y(x_n)\).
طريقة الاستخدام
أدخل الطرف الأيمن \(F(x, y)\) على هيئة تعبير رياضي بالمتغيّرين \(x\) و\(y\) (العمليات + - * / ^، والأقواس، ودوال مثل sin وcos وexp وlog/ln وsqrt وabs، إضافة إلى الثابتين pi وe). حدّد نقطة البداية \(x_0\)، والقيمة الابتدائية \(y_0\)، ونقطة النهاية \(x_n\)، ثم اختر عدد التقسيمات \(n\). كلما زادت قيمة \(n\) صغُرت الخطوة، وتحسّنت دقة النتيجة في العادة.
شرح القانون
طول الخطوة هو $$h = \frac{x_n - x_0}{n},$$ ونقاط الشبكة هي \(x_k = x_0 + k\cdot h\). انطلاقًا من \(y_0\)، تُحسب كل قيمة جديدة بالعلاقة $$y_{k+1} = y_k + h\cdot F(x_k, y_k):$$ أي يُؤخذ الميل \(F\) عند النقطة الحالية ويُستخدم لاتخاذ خطوة مستقيمة بعرض \(h\). الطريقة دقيقة من الرتبة الأولى، أي أن الخطأ الكلي يتناسب مع \(O(h)\).
مثال محلول
للمعادلة \(y' = 1 - y^2\) مع \(x_0 = 0\) و\(y_0 = 0\) و\(x_n = 1\) و\(n = 5\)، يكون طول الخطوة \(h = 0.2\). وتعطي عملية التكرار: \(y_1 = 0.2\)، و\(y_2 = 0.392\)، و\(y_3 = 0.5612672\)، و\(y_4 \approx 0.6982668\)، و\(y_5 \approx 0.8007513\). ومن ثمّ فإن تقدير أويلر عند \(x = 1\) يساوي نحو \(0.8008\). الحل الدقيق هو \(\tanh(x)\)، إذ إن \(\tanh(1) \approx 0.7616\)؛ وكلما زدنا قيمة \(n\) اقتربت قيمة أويلر من هذه القيمة الحقيقية.
الأسئلة الشائعة
لماذا تختلف نتيجتي عن الحل الدقيق؟ طريقة أويلر دقيقة من الرتبة الأولى فحسب. ويتناقص الخطأ تقريبًا بتناسب مع \(h\)، لذا فإن اختيار قيمة أكبر لـ \(n\) (خطوة أصغر) يُحسّن الدقة.
هل يمكن أن تكون \(x_n\) أصغر من \(x_0\)؟ نعم. عندئذٍ يصبح طول الخطوة \(h\) سالبًا، وتُكامل العلاقة التكرارية نفسها في الاتجاه العكسي.
ما الدوال المدعومة؟ sin وcos وtan وasin وacos وatan وsinh وcosh وtanh وexp وlog/ln وlog10 وsqrt وabs، إضافة إلى الثابتين pi وe.
