ما هي حاسبة الانحدار الخطي (طريقة المربعات الصغرى)؟
تُوجِد هذه الأداة أفضل خط مستقيم \(y = A + B\cdot x\) يمر عبر مجموعة من نقاط البيانات (x، y) باستخدام طريقة المربعات الصغرى الاعتيادية (OLS). وتُعيد لك قيمة الميل B، والتقاطع A، ومتوسطي x وy، ومجاميع المربعات، والمعادلة الناتجة، إضافةً إلى معامل الارتباط لبيرسون \(r\) — مع دليل لفظي سريع يوضّح مدى قوة هذا الارتباط.
طريقة الاستخدام
أدخِل زوجًا واحدًا (x، y) في كل سطر داخل صندوق البيانات، مفصولًا بفاصلة أو مسافة — مثل 1, 2. يتم تجاهل الأسطر الفارغة أو غير المكتملة والخلايا غير الرقمية. وتحتاج إلى زوجين صحيحين على الأقل حتى يمكن تعريف الخط. اختر عدد الأرقام المعنوية المراد عرضها (وهذا يغيّر طريقة العرض فقط دون التأثير على الحسابات)، ثم اقرأ قيم الميل والتقاطع و\(r\).
شرح المعادلة
مع وجود \(n\) من الأزواج الصحيحة، احسب المتوسطين \(\bar{x} = \sum x_i / n\) و\(\bar{y} = \sum y_i / n\). ثم احسب مجاميع المربعات والجداءات المتبادلة:
$$S_{xx} = \sum x_i^2 - n\,\bar{x}^2, \quad S_{yy} = \sum y_i^2 - n\,\bar{y}^2, \quad S_{xy} = \sum x_i y_i - n\,\bar{x}\,\bar{y}$$يكون الميل \(B = S_{xy}/S_{xx}\)، والتقاطع \(A = \bar{y} - B\cdot\bar{x}\)، ومعامل الارتباط \(r = S_{xy} / (\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\). فإذا كانت جميع قيم x متطابقة (\(S_{xx} = 0\))، فلا يمكن إيجاد أي خط غير عمودي. وإذا كانت \(S_{yy} = 0\)، فإن قيمة \(r\) تكون غير معرّفة وتُعرض على أنها 0.
مثال محلول
البيانات: (1،2)، (2،4)، (3،5)، (4،4)، (5،5)، وعدد النقاط \(n = 5\). مجموع \(x = 15\)، ومجموع \(y = 20\) ← \(\bar{x} = 3\)، و\(\bar{y} = 4\). مجموع \(x^2 = 55\) ← \(S_{xx} = 55 - 45 = 10\). مجموع \(y^2 = 86\) ← \(S_{yy} = 86 - 80 = 6\). مجموع \(xy = 66\) ← \(S_{xy} = 66 - 60 = 6\). الميل \(B = 6/10 = 0.6\)، والتقاطع \(A = 4 - 0.6\cdot 3 = 2.2\)، ومعامل الارتباط \(r = 6/\sqrt{60} \approx 0.7746\) (ارتباط قوي). الخط الناتج:
$$y = 2.2 + 0.6\cdot x$$الأسئلة الشائعة
ماذا يعني \(r\)؟ \(r\) هو معامل ارتباط بيرسون، وتتراوح قيمته بين \(-1\) و\(+1\). القيم القريبة من \(\pm 1\) تدل على علاقة خطية قوية، بينما القيم القريبة من 0 تعني علاقة خطية ضعيفة أو منعدمة. وكدليل تقريبي: \(|r| > 0.7\) ارتباط قوي، و0.4–0.7 متوسط، و0.2–0.4 ضعيف، وأقل من 0.2 لا يوجد ارتباط.
ماذا لو كانت كل نقاطي عمودية؟ إذا كانت كل قيم x متطابقة، فإن \(S_{xx} = 0\) ولا يمكن إيجاد خط بطريقة المربعات الصغرى — وتُظهر الحاسبة رسالة خطأ في هذه الحالة.
هل يؤثر خيار عدد الأرقام المعروضة على النتيجة؟ لا. فهو يتحكم فقط في عدد الأرقام المعنوية المعروضة، أما عملية الانحدار فتُحسب دائمًا بكامل الدقة.
